牛夫子‧高中數學 課程總覽 工具地圖 跨章流程圖 全景心智圖
翻著書的牛夫子

數學工具地圖

把整個高中數學攤開成一張圖:題目在問什麼、出現了哪些關鍵字、可以用哪些工具、這些工具有什麼限制。
面對陌生題目時,你需要的不是「想起某一題」,而是「知道自己有哪些武器」。

用關鍵字找工具

會在全部 — 項工具的「名稱/使用時機/限制/常見錯誤」中搜尋。點搜尋結果可看完整說明。

拆解問題的四個提問

① 這題「問什麼」?

  • 求一個值 → 解方程式/代公式
  • 求範圍 → 不等式、判別式、值域
  • 求個數 → 計數、判別式、圖形交點
  • 求最大最小 → 最值策略表(7 種做法)
  • 求位置關係 → 距離 vs 半徑、向量、行列式
  • 要證明 → 從定義出發、歸納法、反證

② 題目「給了什麼」?

  • 給幾個點的坐標 → 坐標幾何/向量
  • 給邊與角 → 正弦、餘弦定理
  • 給前後項關係 → 數列與遞迴
  • 給條件機率式的敘述 → 樹狀圖、貝氏
  • 給對所有 x 成立 → 恆成立轉最值
  • 給一堆數據 → 平均與標準差、相關係數

③ 我有「哪些工具」?

  • 同一件事常有 代數解 與 幾何解 兩種做法
  • 算不出來時,換一個表示法:
    坐標 ↔ 向量 ↔ 三角 ↔ 複數
  • 式子太複雜 → 換元(記得換範圍)
  • 正面難算 → 補集、反證
  • 看不出結構 → 先畫圖、先試小的 n

④ 這個工具的「限制」是什麼?

  • 分母 ≠ 0、根號內 ≥ 0、真數 > 0
  • 平方 / 去絕對值 → 一定要驗根
  • 公比 r ≠ 1、底數 a > 0 且 a ≠ 1
  • 不等式乘負數 → 變號
  • 算幾/柯西 → 等號能不能成立
  • 換元後 → 新變數的範圍

跨章決策流程圖(13 張)

課本按章編排,考試不按章出題。這 13 張圖依「題目在問什麼」把散在各冊的工具重新排隊,順著問題往下走就找得到該用的工具。

全景圖:九大領域

點領域或主題可展開該分支的細部心智圖(每個領域有自己一張圖)。圖太寬可左右捲動。

點節點進入分支圖
根:高中數學 領域(9 個) 主題(點進去看工具)

九大領域各自負責什麼

怎麼用這張圖

平常讀書時:每讀完一章,回到這張圖找到它的位置,問自己「它跟旁邊的主題有什麼關係?」。 孤立記住的公式最容易忘,長在樹上的公式才叫理解。

寫題目卡住時:不要馬上翻解答。先問「這題屬於哪個領域?」,進入該分支圖, 掃過那個主題的所有工具 → 逐一問「這個工具的觸發條件,題目有沒有給?」

訂正錯題時:錯的往往不是計算,而是「限制沒檢查」。到工具的限制/前提欄 找到你踩的那個坑,把它抄進錯題本。

考前複習時:把每個領域的分支圖印出來,遮住「工具」欄,只看「什麼時候用」,測試自己能不能反射性地說出工具名稱。

牛夫子的背影
牛夫子 圖/楊安琪 ・ 本頁沿用《國中數學工具地圖》的牛夫子主題,色票取自角色本身:斑塊的深酒紅、數學課本的粉紅、圓框眼鏡的黑、紙張的米白。