L1基礎程度：先把這些練熟
對象$a_n$ 與 $S_n$ 分不清、遞迴式看到就想「代到底」、Σ 公式背了不會拆的同學。
目標30 個基本型（含 2 型讀圖題），每型看到題目 30 秒內知道要做什麼。
通過標準每小節的檢測 10 題兩天各全對一輪（第二輪隔天用「換一組類似題」，猜對不算），再進 L2；標題列會顯示精熟狀態。
1-1 等差與等比：兩項定數列、對稱設法、平均成長率
先要會：等差兩項相減 $=(q-p)d$、等比兩項相除 $=r^{q-p}$、$a_n=a_1+(n-1)d$ 寫成 $dn+(a_1-d)$、變號位置：解 $a_n\gt0$ 再取整數、三數等差設 $m-d,m,m+d$；三數等比設 $\frac ar,a,ar$、立方根唯一、平方根要 $\pm$、平均成長率是幾何平均：$(1+r)^n=$ 各年倍率相乘、反求某一年：先算總倍率 $(1+r)^n$，再除掉已知年份的倍率。
1-2 遞迴：四種基本型＋週期
先要會：$a_{n+1}=pa_n+q$：先解不動點 $x^\ast=px^\ast+q$，$\langle a_n-x^\ast\rangle$ 是公比 $p$ 的等比、$a_{n+1}=a_n+f(n)$：疊縮相加 $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$、$a_{n+1}=g(n)\,a_n$：疊縮相乘，分子分母交錯消、$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{ka_n+1}$：取倒數變等差、分式遞迴先算前幾項，看到回到 $a_1$ 就是週期。
2 級數：Σ 公式與五種求和技術
先要會：$\sum k=\frac{n(n+1)}2$、$\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$、$\sum k^3=\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2$、Σ 可以拆、常數可以提、等差和 $=\frac{n(a_1+a_n)}2$；中段和＝大減小、$S_n$ 最大 ⟺ 加到最後一個正項、等比和 $=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，三段和也成等比、裂項：$\frac1{(ak+b)(ak+a+b)}=\frac1a\left(\frac1{ak+b}-\frac1{ak+a+b}\right)$、等差 $\times$ 等比：錯位相減、$a_n=S_n-S_{n-1}$ 只對 $n\ge2$；$S_n$ 有常數項第一項就脫隊、絕對值和：找變號位置，負段整段變號、複利 $P(1+i)^n$、單利 $P(1+ni)$、平方和不從 $1$ 開始：大的減小的；奇數的平方和＝全部減偶數、$\sum(pa_k+q)^2$：先乘開再逐項求和，常數要乘項數、圖形每次縮成固定的倍數，那個倍數就是公比。
3 數學歸納法：遞推步驟怎麼寫
先要會：兩步缺一不可：起始值驗證 ＋「$n=k$ 成立 ⟹ $n=k+1$ 成立」、恆等式型：$n=k$ 的右式 ＋ 第 $k+1$ 項，要化成 $n=k+1$ 的右式、整除型：設 $f(k)=mt$，把 $f(k+1)$ 寫成 $b\,f(k)+$（$m$ 的倍數）、起始點不一定是 $1$。
4 讀圖題：火柴棒與地磚的規律、分割塗色
先要會：題目說「如圖」時，規律畫在圖上，先數出圖 $1$、圖 $2$、圖 $3$ 各有幾個、再回到圖上看「多一個單位要補幾個」：補的個數固定，就是等差數列，$a_n=a_1+(n-1)d$、相鄰兩格共用的那一根只算一次、分割塗色的圖：從圖 $1$ 讀出分成幾塊、塗幾塊；再看圖 $2$ 新塗的部分是前一次的幾分之幾，那個倍數就是公比、第 $n$ 次新塗的面積是等比數列的第 $n$ 項，塗色的總面積是前 $n$ 項的和。本章的段考原題大約每十題有一題附圖，多半是圖形規律和圖形裡的等比。按「新題」時，圖會跟著題目重畫。
L1 混合檢測 12 題（全章 30 型打亂，練「判斷這是哪一型」）
L3中上程度：讀到關鍵字就知道切入點
對象L2 已穩，段考想從 75 分往 90 分推的同學。
目標20 題各校段考中後段常見題（L3-9 與最後 2 題是附圖題）：每題附「關鍵字」和「做法」，練到一看到關鍵字就知道先做什麼；每題都能按「🎲 類似題」換數字再練。
通過標準20 題全部能獨立完成，且說得出每題用的是什麼方法；本級混合檢測 10 題連續兩輪全對。
題目來源標示為出題學校與年度；標「改編自」的題目改過數字或問法。答案與詳解皆重新驗算過（L3-3 的官方答案有誤，見該題）。
L3-1$3a_{n+1}-2a_n=-2$：先除成 $a_{n+1}=pa_n+q$，再解不動點雄中 113上 填 4
設 $a_1=7$，且 $3a_{n+1}-2a_n=-2$（$n\ge1$）。求 $a_8$。
$a_8=-\dfrac{358}{243}$
做法：整理成 $a_{n+1}=\dfrac23a_n-\dfrac23$；不動點 $x=\dfrac23x-\dfrac23\Rightarrow x=-2$。
$a_{n+1}+2=\dfrac23(a_n+2)$ ⟹ $a_n+2=(a_1+2)\left(\dfrac23\right)^{n-1}=9\left(\dfrac23\right)^{n-1}$。
$a_8=9\cdot\dfrac{2^7}{3^7}-2=\dfrac{128}{243}-2=\dfrac{128-486}{243}=-\dfrac{358}{243}$。
L3-2給首項、末項、總和：用 S=(a₁−aₙr)/(1−r) 解 r，再定項數中山女高 110下 填 10
等比數列 $\langle a_n\rangle$ 中 $a_1=2$、$a_n=512$，且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=682$。求 $a_2+a_{n-1}$。
$136$
做法：$S_n=\dfrac{a_1-a_nr}{1-r}$ 不需要知道 $n$ 就能解 $r$。
$682=\dfrac{2-512r}{1-r}$ ⟹ $682-682r=2-512r$ ⟹ $170r=680$ ⟹ $r=4$。
$2\cdot4^{\,n-1}=512$ ⟹ $4^{\,n-1}=256=4^4$ ⟹ $n=5$。$a_2=8$、$a_4=128$，和為 $136$。
L3-3五數等差、給和與積：設 m−2d,m−d,m,m+d,m+2d，積是 d² 的二次式武陵 111下 填 4
五個數成等差數列，其和為 $20$、乘積為 $208$。求公差 $d$ 所有可能的值。
$d=\pm\sqrt3$ 或 $\pm\sqrt{17}$ （題庫與原卷答案寫 $\pm3$：$d=3$ 時五數為 $-2,1,4,7,10$，乘積 $-560\ne208$，官方答案有誤。）
做法：和 $=5m=20$ ⟹ $m=4$。乘積 $=4(4-2d)(4+2d)(4-d)(4+d)=4(16-4d^2)(16-d^2)$。
$16(4-d^2)(16-d^2)=208$ ⟹ $(4-d^2)(16-d^2)=13$ ⟹ $d^4-20d^2+64=13$ ⟹ $d^4-20d^2+51=0$ ⟹ $(d^2-3)(d^2-17)=0$。
驗算 $d=\sqrt3$：$(4-2\sqrt3)(4+2\sqrt3)\cdot(4-\sqrt3)(4+\sqrt3)\cdot4=(16-12)(16-3)\cdot4=4\cdot13\cdot4=208$ ✔
L3-4首項、末項、和都給、項數不給：同樣用 S=(a₁−aₙr)/(1−r)高雄女中 111下 填 15
等比數列 $\langle a_n\rangle$ 首項為 $3$、末項為 $-1536$、和為 $-1023$。求第 $3$ 項。
$a_3=12$
做法：$-1023=\dfrac{3-(-1536)r}{1-r}$。
$-1023+1023r=3+1536r$ ⟹ $-1026=513r$ ⟹ $r=-2$。$a_3=3\cdot(-2)^2=12$。
順便定項數：$3\cdot(-2)^{n-1}=-1536$ ⟹ $(-2)^{n-1}=-512=(-2)^9$ ⟹ $n=10$。L3-5刪去一項後平均：刪掉的那項 = S₂₅ − 24×平均，再用 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ 找是第幾項竹科實中 113下 單 2
數列 $\langle a_n\rangle$ 共 $25$ 項，前 $n$ 項和 $S_n=3n^2-2n$。若刪去某一項後，剩餘 $24$ 項的算術平均數為 $74$，則刪去的是第幾項？
(1) $5$ (2) $9$ (3) $14$ (4) $18$ (5) $24$
(2) 第 $9$ 項
做法：$S_{25}=3\cdot625-50=1825$，剩餘和 $=24\times74=1776$，刪掉的項 $=49$。
$n\ge2$ 時 $a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5$（$a_1=S_1=1$ 也合），$6n-5=49$ ⟹ $n=9$。
L3-6aₙ=aₙ₋₁+(指數項)+(一次項)：疊縮相加，指數部分等比、一次部分等差分開加武陵 111下 填 9
設 $a_1=7$，且 $a_n=a_{n-1}+2^{\,n+1}-2n+1$（$n\ge2$）。求 $a_{10}$。
$a_{10}=3996$
做法：$a_{10}=a_1+\displaystyle\sum_{n=2}^{10}\left(2^{\,n+1}-2n+1\right)$，三段分開算。
$\sum_{n=2}^{10}2^{\,n+1}=2^3+\cdots+2^{11}=2^{12}-2^3=4088$；$\sum_{n=2}^{10}(-2n)=-2(2+\cdots+10)=-108$；$\sum_{n=2}^{10}1=9$。
$a_{10}=7+4088-108+9=3996$。
L3-7給 a₃ 與 aₙ₊₁=(n+2)/n·aₙ+4：往前推 a₂、a₁，列前五項猜 4n²，再歸納驗證武陵 111下 題組 15–16
設數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $a_3=36$，且對任意正整數 $n$，$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n+4$。(1) 列出 $a_1,\dots,a_5$。(2) 猜測一般項並用數學歸納法證明。
(1) $4,16,36,64,100$ (2) $a_n=4n^2$
做法：由 $a_3=\dfrac42a_2+4=36$ 得 $a_2=16$；由 $a_2=3a_1+4$ 得 $a_1=4$；往後 $a_4=\dfrac53\cdot36+4=64$、$a_5=\dfrac64\cdot64+4=100$。
猜 $a_n=4n^2$。$n=1$：$4$ ✔。設 $a_k=4k^2$，則 $a_{k+1}=\dfrac{k+2}{k}\cdot4k^2+4=4k(k+2)+4=4(k^2+2k+1)=4(k+1)^2$ ✔。
L3-8分式遞迴、分子分母都是一次：老實算四項、看分子分母各自的規律、歸納法收尾北一女中 104下 計算
數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $a_1=\dfrac25$，$a_n=\dfrac{3a_{n-1}-2}{8a_{n-1}-5}$（$n\ge2$）。(1) 求 $a_2,a_3,a_4,a_5$。(2) 猜測一般項。(3) 用數學歸納法證明。
(1) $\dfrac49,\dfrac6{13},\dfrac8{17},\dfrac{10}{21}$ (2) $a_n=\dfrac{2n}{4n+1}$
做法：分子 $2,4,6,8,10$ 是 $2n$；分母 $5,9,13,17,21$ 是 $4n+1$。
設 $a_k=\dfrac{2k}{4k+1}$，代入：分子 $3a_k-2=\dfrac{6k-8k-2}{4k+1}=\dfrac{-2(k+1)}{4k+1}$，分母 $8a_k-5=\dfrac{16k-20k-5}{4k+1}=\dfrac{-(4k+5)}{4k+1}$。
相除得 $a_{k+1}=\dfrac{2(k+1)}{4k+5}=\dfrac{2(k+1)}{4(k+1)+1}$ ✔。
L3-9方格斜線編號：第 k 條斜線有 k 個數；先問 100 在第幾條、第幾個武陵 112下 填 11
如圖，在無限大的方格中編號：$1$ 填在第一列第一行；$2,3$ 從第二列第一行往右上填到第一列第二行；$4,5,6$ 從第三列第一行往右上填到第一列第三行……依此類推。若 $100$ 在第 $m$ 列第 $n$ 行，求 $(m,n)$。
$(6,9)$
做法：第 $k$ 條斜線有 $k$ 個數，前 $k$ 條共 $\dfrac{k(k+1)}2$ 個。$\dfrac{13\cdot14}2=91\lt100\le105$ ⟹ $100$ 在第 $14$ 條斜線的第 $9$ 個。
第 $14$ 條斜線從第 $14$ 列第 $1$ 行出發，每走一個「列減 $1$、行加 $1$」：第 $9$ 個在第 $14-8=6$ 列、第 $1+8=9$ 行。
L3-10兩個數列交錯相加：拆成等差級數＋等比級數，各自數項數台南一中 109下 填 1
求 $2+3+5+6+8+12+\cdots+(3k-1)+3\cdot2^{\,k-1}+\cdots+29+1536$。
$3224$
做法：等差部分 $2,5,8,\dots,29$（$3k-1=29$ ⟹ $k=10$）；等比部分 $3,6,12,\dots,1536$（$3\cdot2^{\,k-1}=1536$ ⟹ $k=10$）。
等差和 $=\dfrac{10(2+29)}2=155$；等比和 $=3(2^{10}-1)=3069$。合計 $3224$。
L3-11兩個等比級數相除：分子公比 4、分母公比 2，用 4¹⁰−1=(2¹⁰−1)(2¹⁰+1) 約分台中一中 111下 單 1
求 $\dfrac{2^2+2^4+2^6+\cdots+2^{20}}{2+2^2+2^3+\cdots+2^{10}}$。
(1) $2$ (2) $4$ (3) $\dfrac{1025}3$ (4) $\dfrac{2050}3$ (5) $\dfrac{4097}3$
(4) $\dfrac{2050}{3}$
做法：分子 $=\dfrac{4(4^{10}-1)}{3}$、分母 $=2(2^{10}-1)$。
$\dfrac{4(2^{10}-1)(2^{10}+1)}{3\cdot2(2^{10}-1)}=\dfrac{2(2^{10}+1)}{3}=\dfrac{2\cdot1025}{3}=\dfrac{2050}3$。
L3-12Σk(k+2)(k+4) 要因式分解的答案：乘開套三個公式，再提 n(n+1)/4 湊出兩個一次因式北一女中 104下 填 6
已知 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+2)(k+4)=\dfrac{n(n+b)(n+c)(n+d)}{a}$，其中 $a,b,c,d$ 為整數且 $b\lt c\lt d$。求 $(a,b,c,d)$。
$(4,1,4,5)$
做法：$k(k+2)(k+4)=k^3+6k^2+8k$。
$\sum=\left[\dfrac{n(n+1)}2\right]^2+n(n+1)(2n+1)+4n(n+1)=\dfrac{n(n+1)}4\big[n(n+1)+4(2n+1)+16\big]=\dfrac{n(n+1)(n^2+9n+20)}4=\dfrac{n(n+1)(n+4)(n+5)}4$。
代 $n=1$ 驗算：左 $=15$，右 $=\dfrac{1\cdot2\cdot5\cdot6}4=15$ ✔
L3-133Sₙ=(n+2)aₙ：寫 n−1 的式子相減，得 aₙ/aₙ₋₁，疊縮相乘武陵 112下 填 8
設數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $a_1=1$，且 $3(a_1+a_2+\cdots+a_n)=(n+2)a_n$。求 $a_n$。
$a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
做法：$3S_n=(n+2)a_n$、$3S_{n-1}=(n+1)a_{n-1}$ 相減 ⟹ $3a_n=(n+2)a_n-(n+1)a_{n-1}$ ⟹ $(n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}$。
$\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{n+1}{n-1}$ ⟹ $a_n=1\cdot\dfrac31\cdot\dfrac42\cdots\dfrac{n+1}{n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}$（前幾項 $1,3,6,10$ 驗 ✔）。
L3-14係數等差、公比為負的交錯級數：仍是錯位相減，乘上 −2 再相減北一女中 104下 填 4
求 $S=1-2\times2+3\times2^2-4\times2^3+5\times2^4-6\times2^5+7\times2^6-8\times2^7$。
$S=-711$
做法：$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{8}k(-2)^{k-1}$，公比 $-2$；$-2S=\displaystyle\sum_{k=1}^{8}k(-2)^{k}$。
$S-(-2S)=3S=\big[1+(-2)+(-2)^2+\cdots+(-2)^7\big]-8(-2)^8=\dfrac{1-(-2)^8}{1-(-2)}-2048=\dfrac{-255}3-2048=-2133$ ⟹ $S=-711$。
L3-15兩條含 a₃,a₅,a₈,a₁₀ 的方程：相除得 r⁵，配 S₉ 定 a₁；剩下是「和與積」的二次方程台南一中 109下 填 14
設 $\langle a_n\rangle$ 為等比數列，且 $a_1+\cdots+a_9=1533$。$x,y$ 皆為小於 $1$ 的實數，滿足 $12xy=1$ 與 $\begin{cases}a_3x+a_5y=16\\ a_8x+a_{10}y=512\end{cases}$。求 $3x-20y$。
$-4$
做法：第二式是第一式的每一項各乘 $r^5$ ⟹ $r^5=\dfrac{512}{16}=32$ ⟹ $r=2$；$S_9=a_1(2^9-1)=1533$ ⟹ $a_1=3$。
$a_3=12$、$a_5=48$：$12x+48y=16$ ⟹ $3x+12y=4$；又 $(3x)(12y)=36xy=3$。
$3x$ 與 $12y$ 是 $t^2-4t+3=0$ 的兩根 $1,3$：若 $3x=3$ 則 $x=1$ 不合（須小於 $1$）；故 $3x=1,\ 12y=3$，$x=\dfrac13,\ y=\dfrac14$，$3x-20y=1-5=-4$。
L3-16每 10 項切成一段：等比數列各段的和也成等比，公比是 $r^{10}$改編自 建國中學 113下 填 8
已知各項都是正數的等比數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{30}=36$、$a_{31}+a_{32}+\cdots+a_{50}=324$。求 $a_1+a_2+\cdots+a_{60}$。
$1092$
做法：每 $10$ 項切成一段。等比數列每一段的和也成等比，公比是 $r^{10}$，所以不必求出 $r$。
令 $T=a_1+a_2+\cdots+a_{10}$、$q=r^{10}$。各項都是正數，所以 $r\gt0$、$q\gt0$。第 $2$、$3$ 段的和是 $Tq$、$Tq^2$，第 $4$、$5$ 段的和是 $Tq^3$、$Tq^4$。
$Tq+Tq^2=36$、$Tq^3+Tq^4=324$，後式是前式乘上 $q^2$ ⟹ $q^2=9$ ⟹ $q=3$。代回 $3T+9T=36$ ⟹ $T=3$。
$a_1+a_2+\cdots+a_{60}$ 是前 $6$ 段：$T(1+q+q^2+\cdots+q^5)=3\times\dfrac{3^6-1}{3-1}=3\times364=1092$。
L3-17分數依「分子＋分母」分群：先數前面幾群共幾項，再數群內第幾個改編自 成功高中 110下 填 7
數列 $\dfrac11,\ \dfrac21,\dfrac12,\ \dfrac31,\dfrac22,\dfrac13,\ \dfrac41,\dfrac32,\dfrac23,\dfrac14,\ \dots$（分數不約分）。(1) $\dfrac{4}{9}$ 是第幾項？(2) 第 $100$ 項是哪一個分數？
(1) 第 $75$ 項 (2) $\dfrac{6}{9}$
做法：依「分子＋分母」分群。第 $k$ 群的分子＋分母都是 $k+1$，共 $k$ 項；分子從 $k$ 往下數到 $1$，分母從 $1$ 往上數到 $k$。前 $k$ 群共 $\dfrac{k(k+1)}{2}$ 項。
(1) $\dfrac49$ 的分子＋分母 $=13$，在第 $12$ 群；群內分母依序是 $1,2,3,\dots$，分母 $9$ 是第 $9$ 個。前 $11$ 群共 $\dfrac{11\times12}{2}=66$ 項，所以 $\dfrac49$ 是第 $66+9=75$ 項。
(2) 前 $13$ 群共 $\dfrac{13\times14}{2}=91$ 項、前 $14$ 群共 $105$ 項，$91\lt100\le105$，所以第 $100$ 項是第 $14$ 群的第 $9$ 個：分母 $9$、分子 $14-9+1=6$，是 $\dfrac69$。
L3-18多加了一項：正確的和 $S$ 滿足 $S\lt$ 錯的和 $\le S+n$，先用它夾出 $n$改編自 中山女高 110下 填 12
小芬計算 $1+2+3+\cdots+n$ 時，不小心把其中某一項多加了一次，得到 $250$。求 $n$、多加的那一項，以及正確的和。
$n=21$，多加的那一項是 $19$，正確的和是 $231$
做法：正確的和 $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$。多加的那一項在 $1$ 到 $n$ 之間，所以 $S\lt250\le S+n$，用它夾出 $n$。
$n=20$：$S=210$，就算多加最大的 $20$ 也只有 $230$，不到 $250$。
$n=21$：$S=231$，$250-231=19$，在 $1$ 到 $21$ 之間，符合。
$n=22$：$S=253$，已經超過 $250$，不可能。
所以 $n=21$，多加的是 $19$，正確的和是 $231$。
以下 2 題（L3-19、L3-20）是附圖題：規律要從圖上讀，題幹不會把每一步都寫出來。圖都依題目條件重新繪製、照比例畫。本章的段考原題大約每十題有一題附圖，幾乎都是「圖形規律」和「圖形裡的等比」這兩類。
L3-1945° 的斜線下一個接一個的正方形：每個的邊長＝它左邊那條邊到 A 的距離，邊長成公比 2 的等比明倫高中 104下 計算 1
如圖，已知 $\angle A=45^\circ$、$\overline{AB}=1$，$T_1$、$T_2$、$T_3$、…… 都是正方形。(1) 求 $T_1$ 的周長。(2) 求 $T_2$ 的周長。(3) 求前 $8$ 個正方形的周長總和。
(1) $4$ (2) $8$ (3) $1020$
做法：先從圖上讀出正方形怎麼擺：底邊從 $B$ 開始一個接一個排在角的一邊上，左上角的頂點都在角的另一邊上。$45^\circ$ 的斜線上，每一點的高度都等於它到 $A$ 的水平距離，所以每個正方形的邊長就是「它左邊那條邊到 $A$ 的距離」。
(1) $T_1$ 的左邊過 $B$，到 $A$ 的距離是 $1$，所以 $T_1$ 的邊長是 $1$、周長 $4$。
(2) $T_2$ 的左邊到 $A$ 的距離是 $1+1=2$，所以 $T_2$ 的邊長是 $2$、周長 $8$。
(3) 設 $T_k$ 的邊長是 $s_k$。$T_{k+1}$ 的左邊到 $A$ 的距離，等於 $T_k$ 的左邊到 $A$ 的距離（就是 $s_k$）再加上 $T_k$ 的邊長 $s_k$，所以 $s_{k+1}=2s_k$。邊長是首項 $1$、公比 $2$ 的等比數列，周長是首項 $4$、公比 $2$ 的等比數列。
前 $8$ 個的周長總和 $=\dfrac{4(2^8-1)}{2-1}=4\times255=1020$。
圖上只畫了 $T_1$、$T_2$，可以自己接著畫 $T_3$ 檢查：它的左邊到 $A$ 的距離是 $1+1+2=4$，邊長 $4$，確實是 $T_2$ 的 $2$ 倍。如果角不是 $45^\circ$，高度和水平距離的比就不是 $1$，公比也會跟著變（按「類似題」可以練到）。L3-201、6、16 顆星星：從圖上看每次多一圈、一圈多 5 顆，寫出 $a_{n+1}-a_n=5n$ 再疊縮相加北一女中 112上（高三）單 1
星野愛隨意塗鴉畫星星，如圖（一）有 $1$ 顆星星，圖（二）有 $6$ 顆星星，圖（三）有 $16$ 顆星星，以此類推。試問圖（十）會有多少顆星星？
(1) $181$ (2) $226$ (3) $276$ (4) $331$ (5) $391$(2) $226$ 顆
做法：只有三個數 $1$、$6$、$16$ 不夠決定規律，要回到圖上看「多出來的是什麼」。每往後一個圖，外面多一圈排成正五邊形的星星。
設圖 $n$ 有 $a_n$ 顆。圖（二）比圖（一）多一圈 $5$ 顆（正五邊形的 $5$ 個頂點）；圖（三）比圖（二）再多一圈 $10$ 顆（$5$ 個頂點，加上每邊中間各 $1$ 顆）。新的一圈每邊都比前一圈多 $1$ 顆，所以一圈比一圈多 $5$ 顆：$a_{n+1}-a_n=5n$。
疊縮相加：$a_{10}=a_1+(5+10+\cdots+45)=1+5(1+2+\cdots+9)=1+5\times45=226$，選 (2)。
檢查：$a_2=1+5=6$、$a_3=6+10=16$，和題目給的一樣。一般項是 $a_n=1+\dfrac{5n(n-1)}{2}$。只看數字 $1$、$6$、$16$ 的人可能會猜「差每次乘 $2$」而得到別的答案，所以規律要從圖上確認。L3 混合檢測 10 題（20 型打亂，可換組）
段考模擬卷（L2＋L3 混合 14 題・計時 50 分鐘・交卷才看答案）
按「開始計時」後作答，答案寫在紙上；時間到或按「交卷」才對答案。用時會記進紀錄，多做幾組可以看自己的速度有沒有進步。
L4頂尖程度：第一志願段考與大考的難題
對象L3 全通，目標段考 95 分以上、學測 15 級分的同學。
目標14 題：每題都要把兩個以上的方法接起來用，或需要一個不常見的觀察；L4-9、L4-11、L4-13、L4-14 是附圖題。
通過標準限時 105 分鐘做完 14 題，對 10 題以上。
L4-1a₁>0 且 $S_m$<0：等差看公差、等比看「1−rᵐ 與 1−r 異號」；每個選項找反例北一女中 113下 多 6
設 $m$ 為正整數，數列 $\langle a_n\rangle$ 的首項 $a_1\gt0$，前 $m$ 項和 $S_m\lt0$。選出正確的選項。
(1) 若 $\langle a_n\rangle$ 為等差數列，則公差 $d\lt0$ (2) 若 $\langle a_n\rangle$ 為等差數列且 $m$ 為偶數，則 $a_{m/2}\lt0$ (3) 若 $\langle a_n\rangle$ 為等比數列，則公比 $r\lt-\dfrac12$ (4) 若 $\langle a_n\rangle$ 為等比數列，則 $m$ 為偶數 (5) 若 $\langle a_n\rangle$ 為等比數列，則 $a_{n+1}+a_n\lt0$
(1)(3)(4)
做法：等比的 $S_m=a_1\cdot\dfrac{1-r^m}{1-r}$，$a_1\gt0$ 要 $S_m\lt0$ ⟹ $1-r^m$ 與 $1-r$ 異號。$r\gt0$ 時每項都正、不可能；$r\lt0$ 且 $m$ 奇時 $r^m\lt0$、兩者同正也不可能 ⟹ $m$ 偶且 $r^m\gt1$ ⟹ $r\lt-1$。
(1) $d\ge0$ 則每項 $\ge a_1\gt0$ ✔。(2) 反例 $3,-5$：$S_2=-2\lt0$ 但 $a_1=3\gt0$ ✘。(3) $r\lt-1$ 當然 $\lt-\dfrac12$ ✔。(4) ✔。(5) $a_{n+1}+a_n=a_n(1+r)$，$a_n$ 正負交錯，不恆負；反例 $2,-6,18$：$a_2+a_3=12$ ✘。
L4-2分數依「分子＋分母」分群、同群分子遞減：20/25 在第 44 群的第 25 個北一女中 113下 填 11
數列 $\dfrac11,\ \dfrac21,\dfrac12,\ \dfrac31,\dfrac22,\dfrac13,\ \dfrac41,\dfrac32,\dfrac23,\dfrac14,\ \dots$（不約分）。$\dfrac{20}{25}$ 是第幾項？
第 $971$ 項
做法：第 $k$ 群的分子＋分母 $=k+1$、共 $k$ 項、分子從 $k$ 遞減到 $1$。$20+25=45$ ⟹ 第 $44$ 群，分子 $44,43,\dots,20$ ⟹ 第 $25$ 個。
前 $43$ 群共 $\dfrac{43\cdot44}2=946$ 項，$946+25=971$。
L4-3分母 1,2,4,8… 每群 2ᵏ⁻¹ 項：前 k 群共 2ᵏ−1 項；300 落在第 9 群（分母 256）中山女高 113下 填 14
數列 $\langle a_n\rangle$ 為 $1,\ \dfrac22,\dfrac12,\ \dfrac44,\dfrac34,\dfrac24,\dfrac14,\ \dfrac88,\dfrac78,\dots,\dfrac18,\ \dots$，依此規則求 $a_{300}$。
$a_{300}=\dfrac{212}{256}$
做法：第 $k$ 群分母 $2^{k-1}$、有 $2^{k-1}$ 項，分子由 $2^{k-1}$ 遞減到 $1$；前 $k$ 群共 $1+2+\cdots+2^{k-1}=2^k-1$ 項。
$2^8-1=255\lt300\le511$ ⟹ 第 $9$ 群、分母 $256$，是該群第 $300-255=45$ 個，分子 $256-44=212$。
L4-4兩層遞迴：先把 aₙ 疊縮相乘解出來，再把 bₙ 疊縮相乘；2 的指數是等差級數台南一中 109下 填 12
已知 $a_1=\dfrac12$、$b_1=1$，且 $a_n=\dfrac{n^2}{n^2-1}a_{n-1}$、$b_n=2^{\,n-1}a_n\cdot b_{n-1}$（$n\ge2$）。求 $b_n$。
$b_n=2^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\dfrac{2}{n+1}$
做法：$\dfrac{n^2}{n^2-1}=\dfrac{n}{n-1}\cdot\dfrac{n}{n+1}$，兩串分開疊縮。
$a_n=\dfrac12\cdot\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac n{n-1}\right)\left(\dfrac23\cdot\dfrac34\cdots\dfrac n{n+1}\right)=\dfrac12\cdot n\cdot\dfrac2{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$。
$b_n=b_1\prod_{k=2}^{n}2^{\,k-1}a_k=2^{1+2+\cdots+(n-1)}\cdot\dfrac23\cdot\dfrac34\cdots\dfrac n{n+1}=2^{\frac{n(n-1)}2}\cdot\dfrac2{n+1}$。驗 $n=2$：$b_2=2\cdot\dfrac23\cdot1=\dfrac43$，公式 $2^1\cdot\dfrac23=\dfrac43$ ✔
L4-5$a_{n+2}=2a_n-a_{n+1}$ 前六項皆正：把 a₃…a₆ 全寫成 a₂ 的一次式，取不等式的交集武陵 111下 多 3
數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $a_1=2$，且 $a_{n+2}=2a_n-a_{n+1}$。當 $a_2$ 為下列哪些值時，前六項均為正數？
(1) $\dfrac{20}{11}$ (2) $2$ (3) $\dfrac{23}{11}$ (4) $\dfrac{11}5$ (5) $\dfrac{13}5$
(2)(3)(4)
做法：設 $a_2=t$：$a_3=4-t$、$a_4=2t-(4-t)=3t-4$、$a_5=2(4-t)-(3t-4)=12-5t$、$a_6=2(3t-4)-(12-5t)=11t-20$。
六項皆正：$t\gt0$、$t\lt4$、$t\gt\dfrac43$、$t\lt\dfrac{12}5$、$t\gt\dfrac{20}{11}$ ⟹ $\dfrac{20}{11}\lt t\lt\dfrac{12}5$。
(1) 等於下界，$a_6=0$ ✘；(2)(3)(4) 在區間內 ✔；(5) $\dfrac{13}5\gt\dfrac{12}5$ ✘。
L4-6「哪些也是等差」：一律算 $c_{n+1}-c_n$ 是不是常數；常數數列也算等差竹科實中 113下 多 6
$\langle a_n\rangle$ 為公差不為 $0$ 的等差數列，$\langle b_n\rangle$ 為公比不為 $1$ 的等比數列，且 $a_n\gt0$、$b_n\gt0$。下列哪些也是等差數列？
(1) $\langle3a_n+2\rangle$ (2) $\langle5^{a_n}\rangle$ (3) $\langle b_nb_{n+1}\rangle$ (4) $\langle a_n+a_{n+1}\rangle$ (5) $\left\langle\dfrac{b_n}{b_{n-2}}\right\rangle$
(1)(4)(5)
做法：(1) 差 $3d$ ✔；(4) 差 $2d$ ✔；(5) $\dfrac{b_n}{b_{n-2}}=r^2$ 是常數數列，公差 $0$ ✔。
(2) $\dfrac{5^{a_{n+1}}}{5^{a_n}}=5^d$ 是等比（$5^d\ne1$），相鄰差 $5^{a_n}(5^d-1)$ 不是常數 ✘。(3) $b_nb_{n+1}=b_1^2r^{2n-1}$ 是公比 $r^2\ne1$ 的等比，不是等差 ✘。
L4-7分期付款：借款滾 35 期 ＝ 35 筆還款各自滾到最後一期的總和北一女中 104下 單 1
小綠某月初向銀行借 $100$ 萬元，月利率 $2\%$ 複利計算。從次月初起每月固定還一筆相同金額，預計 $35$ 次付清，則每月須付多少？（萬元，取近似值；$(1.02)^{35}\approx1.9999$）
(1) $2$ (2) $3$ (3) $4$ (4) $5$ (5) $6$
(3) 約 $4$ 萬元
做法：把時間軸拉到最後一次還款那一刻。借款變成 $100(1.02)^{35}$；$35$ 筆還款 $x$ 分別滾了 $34,33,\dots,0$ 期，總和 $x\cdot\dfrac{(1.02)^{35}-1}{0.02}$。
$100\times1.9999=x\cdot\dfrac{0.9999}{0.02}$ ⟹ $x=\dfrac{2\times1.9999}{0.9999}\approx4.0$。
$(1.02)^{35}\approx2$ 就是「本金翻倍」：$100\cdot2=50x$ ⟹ $x=4$，一行心算。L4-8(3k+1)²(2k−1)：通項是 k 的三次式，乘開套四個公式（含 Σk³）台南一中 109下 填 6
求 $4^2\cdot1+7^2\cdot3+10^2\cdot5+\cdots+37^2\cdot23$。
$111138$
做法：第 $k$ 項 $=(3k+1)^2(2k-1)$，$k=1,\dots,12$（$3\cdot12+1=37$、$2\cdot12-1=23$ ✔）。
$(9k^2+6k+1)(2k-1)=18k^3+3k^2-4k-1$。$\sum_{1}^{12}k^3=78^2=6084$、$\sum k^2=650$、$\sum k=78$。
$18\cdot6084+3\cdot650-4\cdot78-12=109512+1950-312-12=111138$。
L4-9每次把空白的 3/4 再塗掉 1/4：算「還沒塗到的面積」(3/4)ⁿ，塗色 = 1 − 它建國中學 111下 填 6
如圖，邊長 $1$ 的正方形四等分，把右上角的小正方形塗色得圖一；再把圖一中空白的三個小正方形各自四等分、右上角塗色得圖二；依此規律，設 $a_n$ 為圖 $n$ 中塗色區域的面積，求 $a_5$（最簡分數）。
$a_5=\dfrac{781}{1024}$
做法：每一步空白面積變成原來的 $\dfrac34$，所以空白 $=\left(\dfrac34\right)^n$。
$a_n=1-\left(\dfrac34\right)^n$，$a_5=1-\dfrac{243}{1024}=\dfrac{781}{1024}$。
對圖檢查：圖一空白 $\dfrac34$、圖二空白 $\dfrac9{16}$（$16$ 格白 $9$ 格）、圖三空白 $\dfrac{27}{64}$，確實每次乘 $\dfrac34$。直接加也行：$\dfrac14+\dfrac14\cdot\dfrac34+\cdots+\dfrac14\left(\dfrac34\right)^4$ 是首項 $\frac14$、公比 $\frac34$ 的等比級數。L4-10房貸：年利率 3% 按月複利就是月利率 0.25%；240 筆還款滾到最後與本金滾 240 期相等建國中學 111下 填 7
小建 $2023$ 年 $1$ 月初向銀行借 $600$ 萬買房，年利率 $3\%$ 按月複利，次月月初起每月償還相同金額，$20$ 年（$240$ 個月）還清。清償完畢時，還款總金額與借貸本金的比值為多少？（四捨五入到小數點後第 $1$ 位；$1.0025^{240}\approx1.82$）
$1.3$
做法：月利率 $\dfrac{3\%}{12}=0.25\%$。每月還 $x$：$600\cdot1.0025^{240}=x\cdot\dfrac{1.0025^{240}-1}{0.0025}$。
$x=\dfrac{600\cdot0.0025\cdot1.82}{0.82}=\dfrac{2.73}{0.82}\approx3.33$（萬）；總還款 $240x\approx799$；比值 $\dfrac{799}{600}\approx1.33\to1.3$。
L4-11每次取「剩下的 1/3」作正方形：邊長是公比 2/3 的等比，周長也是高雄女中 111下 填 18
如圖，已知 $\overline{AB}=9$，以 $\overline{AB}$ 長度的 $\dfrac13$ 為邊長作正方形 $S_1$，再以剩下線段長度的 $\dfrac13$ 為邊長作 $S_2$，如此繼續。設 $a_n$ 為正方形 $S_n$ 的周長，求 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$。
$\dfrac{844}{27}$
做法：邊長 $3,\ 2,\ \dfrac43,\dots$ 公比 $\dfrac23$（每次剩下 $\dfrac23$，再取 $\dfrac13$）；周長 $a_1=12$、公比 $\dfrac23$。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}12\left(\dfrac23\right)^{k-1}=12\cdot\dfrac{1-\left(\frac23\right)^5}{1-\frac23}=36\left(1-\dfrac{32}{243}\right)=36\cdot\dfrac{211}{243}=\dfrac{844}{27}$。
L4-12Sₙ、Tₙ 的性質判斷：錯的選項各造一個反例；對的選項用 T₃=b₁(1+r+r²) 且 1+r+r²>0建國中學 111下 多 12
$\langle a_n\rangle$ 為等差（前 $n$ 項和 $S_n$）、$\langle b_n\rangle$ 為等比（前 $n$ 項和 $T_n$），各項皆實數。選出正確的選項。
(1) 若公差 $\lt0$，則 $S_n\gt S_{n+1}$ 對任意 $n$ 恆成立 (2) 若 $\langle S_n\rangle$ 有某一項 $\lt0$，則公差 $\lt0$ (3) 若 $T_{100}\gt T_{99}$，則公比 $\gt0$ (4) 若 $\langle T_n\rangle$ 每一項都 $\gt0$，則公比 $\gt0$ (5) 若 $T_2\cdot T_3\lt0$，則公比 $\lt-1$
(5)
做法：$T_2=b_1(1+r)$、$T_3=b_1(1+r+r^2)$，而 $1+r+r^2=\left(r+\frac12\right)^2+\frac34\gt0$ 恆成立 ⟹ $T_2T_3=b_1^2(1+r)(1+r+r^2)$ 的正負只由 $1+r$ 決定。
(1) $5,3,1$：$S_1\lt S_2$ ✘。(2) $-5,1,7$：$S_1\lt0$ 但 $d\gt0$ ✘。(3) $T_{100}\gt T_{99}$ 只說 $b_{100}=b_1r^{99}\gt0$；$b_1=-2,r=-3$ 也成立 ✘。(4) $b_1=2,r=-\frac12$：$T_n=\frac43\left[1-\left(-\frac12\right)^n\right]\gt0$ 但 $r\lt0$ ✘。(5) $T_2T_3\lt0$ ⟹ $1+r\lt0$ ⟹ $r\lt-1$ ✔。
以下 2 題（L4-13、L4-14）是附圖題：兩題都要先從圖上看出地磚是怎麼排的，再把個數或面積寫成 $n$ 的式子。圖依原題重新繪製。
L4-13黑白三角形地磚求黑色面積：黑磚有兩種大小不好數，改數白磚，再用「全部 − 白色」武陵高中 112下 填 16
用黑、白兩種顏色的正三角形地磚，依照如下的規則拼成若干圖形，用 $a_n$ 表示第 $n$ 個圖白色地磚的總面積，用 $b_n$ 表示第 $n$ 個圖黑色地磚的總面積。已知每個白色三角形地磚大小皆相等，黑色則有兩種規格，且 $a_1=3$、$b_1=1$，試求 $b_{10}$。
$b_{10}=235$
做法：第 $1$ 圖有 $3$ 塊白磚、$a_1=3$，所以一塊白磚的面積是 $1$；小黑磚和白磚一樣大，面積也是 $1$。黑磚有大有小不好數，白磚只有一種，先數白磚，再用整個大三角形的面積去減。
從圖上看：第 $n$ 圖是由「第 $1$ 圖那樣的小單元」排成的，由上往下第 $k$ 排有 $k$ 個小單元，共 $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個；每個小單元有 $3$ 塊白磚，所以 $a_n=\dfrac{3n(n+1)}{2}$。
第 $n$ 圖的大三角形邊長是白磚邊長的 $2n$ 倍，面積是白磚的 $(2n)^2=4n^2$ 倍，也就是 $4n^2$。
$b_n=4n^2-\dfrac{3n(n+1)}{2}=\dfrac{5n^2-3n}{2}$，所以 $b_{10}=\dfrac{500-30}{2}=235$。
檢查：$b_1=1$、$b_2=7$、$b_3=18$，和圖上數的一樣（第 $3$ 圖有 $6$ 塊小黑磚、$3$ 塊大黑磚，$6+3\times4=18$）。直接數黑磚也可以：小黑磚 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 塊，大黑磚 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 塊、每塊面積 $4$，加起來一樣是 $\dfrac{5n^2-3n}{2}$。L4-14六邊形與三角形地磚的多選題：$a_n$ 是三角形數；$b_n$ 用「大三角形切成 $(2n+1)^2$ 個小三角形，扣掉六邊形佔的」來算雄中 113上 多 3
用白色的正六邊形與黑色的正三角形地磚依照如下的規律拼成大三角形，其中第 $1$ 個圖由 $1$ 個正六邊形與 $3$ 個正三角形所形成；第 $2$ 個圖由 $3$ 個正六邊形與 $7$ 個正三角形所形成；…依此類推。設第 $n$ 個圖由 $a_n$ 個正六邊形地磚與 $b_n$ 個正三角形地磚所拼成，請選出正確的選項。
(1) $b_6=43$(2) $a_{11}=65$(3) $a_{n+1}-a_n=n$ 對所有的正整數 $n$ 都成立(4) $b_n=2a_n+1$ 對所有的正整數 $n$ 都成立(5) $b_n\gt n^2+1$ 對所有的正整數 $n$ 都成立(1)(4)(5)
做法：先從圖上把 $a_n$、$b_n$ 寫成 $n$ 的式子，再逐一檢查選項。六邊形好數；三角形散在各處，改用面積來算。
六邊形：由上往下第 $k$ 排有 $k$ 個，$a_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$，而且 $a_{n+1}-a_n=n+1$（多出最下面一排）。
三角形：把一塊黑色三角形地磚的面積當作 $1$。第 $n$ 個圖的大三角形每邊是 $2n+1$ 塊地磚的邊長，面積是 $(2n+1)^2$；一個正六邊形可以切成 $6$ 個小三角形，面積是 $6$。所以 $b_n=(2n+1)^2-6\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=4n^2+4n+1-3n^2-3n=n^2+n+1$。（檢查：$b_1=3$、$b_2=7$、$b_3=13$，和圖上一樣。）
(1) $b_6=36+6+1=43$。✔
(2) $a_{11}=\dfrac{11\times12}{2}=66$，不是 $65$。✘
(3) $a_{n+1}-a_n=n+1$，不是 $n$（例如 $a_2-a_1=2$）。✘
(4) $2a_n+1=n(n+1)+1=n^2+n+1=b_n$。✔
(5) $b_n-(n^2+1)=n\gt0$。✔
$b_n$ 也可以直接看階差：$3$、$7$、$13$ 相差 $4$、$6$，從圖上看每次多出的三角形比前一次多 $2$ 個，$b_{n+1}-b_n=2n+2$，疊縮相加一樣得到 $n^2+n+1$。L5補充專區：經典題與教甄
對象想走數理資優、科學班，或準備教甄的老師。
目標6 題經典壓軸（L5-2、L5-6 附圖）＋18 題科學班・教甄專區＋1 題附圖題（L5-7，放在最後），每題都要能講出「為什麼這樣想」。
通過標準沒有硬性標準，會一題算一題。
L5-1Sₙ=((aₙ+1)/2)² 且 aₙ 為正整數：用 n=1,2,3 逐項解二次方程猜 2n−1，歸納證；(−1)ⁿn² 的交錯和兩兩配對雄中 113上 計 13
數列 $\langle a_n\rangle$ 的前 $n$ 項和 $S_n=\left(\dfrac{a_n+1}2\right)^2$，且每一項都是正整數。(1) 求 $a_3,a_4$，並推測 $a_n$。(2) 用數學歸納法證明 (1)。(3) 若 $b_n=(-1)^nS_n$，求 $\langle b_n\rangle$ 的前 $n$ 項和 $T_n$。
(1) $a_3=5,\ a_4=7$，$a_n=2n-1$ (3) $T_n=(-1)^n\dfrac{n(n+1)}2$
做法：$n=1$：$a_1=\left(\frac{a_1+1}2\right)^2$ ⟹ $(a_1-1)^2=0$ ⟹ $a_1=1$。$n=2$：$1+a_2=\left(\frac{a_2+1}2\right)^2$ ⟹ $a_2^2-2a_2-3=0$ ⟹ $a_2=3$。同法 $a_3=5$、$a_4=7$。
(2) 設 $a_1,\dots,a_k$ 皆合 $2i-1$，則 $S_k=k^2$，$k^2+a_{k+1}=\left(\frac{a_{k+1}+1}2\right)^2$ ⟹ $a_{k+1}^2-2a_{k+1}+1-4k^2=0$ ⟹ $(a_{k+1}-1)^2=(2k)^2$ ⟹ $a_{k+1}=2k+1$（正）✔（這裡用到的是「前面所有項都成立」的假設）。
(3) $b_n=(-1)^nn^2$。$n$ 偶：$T_n=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+\cdots=3+7+\cdots+(2n-1)=\dfrac{n(n+1)}2$；$n$ 奇：$T_n=T_{n-1}-n^2=\dfrac{(n-1)n}2-n^2=-\dfrac{n(n+1)}2$。合寫 $(-1)^n\dfrac{n(n+1)}2$。
L5-2第 n 層 n² 箱、每箱 n+1 本：箱數 Σn²、書數 Σ(n³+n²)；最大正立方體看 12³ 與 13³北一女中 113下 多 4
古本屋堆放十八層玻璃箱，下圖畫出最上面四層：第 $n$ 層 $n^2$ 個箱子，每箱放 $n+1$ 本書。選出正確的選項。
(1) 第十層共 $100$ 個箱子 (2) 共準備 $2109$ 個箱子 (3) 第七層共收納 $392$ 本書 (4) 全店共 $29241$ 本書 (5) 用這些箱子重新堆成一個最大的正立方體，會剩 $84$ 個箱子(1)(2)(3)
做法：(2) $\sum_{1}^{18}n^2=\dfrac{18\cdot19\cdot37}6=2109$；(4) 書數 $=\sum n^2(n+1)=\sum n^3+\sum n^2=171^2+2109=29241+2109=31350$。
(3) $49\times8=392$ ✔。(4) $29241$ 只是 $\sum n^3$，漏了 $\sum n^2$ ✘。(5) $12^3=1728\le2109\lt13^3=2197$，剩 $2109-1728=381$ ✘。
L5-3n 個單位正方形在直線 y=x/(2n) 下方：前 n−1 個各是梯形（高 1、兩底 x/(2n)），最後一個整個在線下雄中 113上 填 12
正方形 $D_k$ 的四個頂點為 $(2k,0),(2k+1,0),(2k+1,1),(2k,1)$，$k=1,\dots,n$。直線 $L$ 連接原點與 $(2n,1)$。求這 $n$ 個正方形在 $L$ 下方部分的面積總和（以 $n$ 表示）。
$\dfrac{2n^2+3n-1}{4n}$
做法：$L:y=\dfrac{x}{2n}$。$k\le n-1$ 時 $x\le2n-1$，線在正方形內部穿過：線下是梯形，面積 $=\dfrac12\left(\dfrac{2k}{2n}+\dfrac{2k+1}{2n}\right)\cdot1=\dfrac{4k+1}{4n}$。$k=n$ 時 $x\ge2n$ ⟹ $y\ge1$，整個正方形都在線下，面積 $1$。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{4k+1}{4n}+1=\dfrac{2(n-1)n+(n-1)}{4n}+1=\dfrac{2n^2-n-1+4n}{4n}=\dfrac{2n^2+3n-1}{4n}$。驗 $n=1$：只有 $D_1$，整個在線下，面積 $1$；公式 $\dfrac{2+3-1}4=1$ ✔
L5-4每月月初存、月底計息、中途提出：先數有幾筆、最後一筆滾 0 個月；本利和是等比級數北一女中 113下 填 12（改寫）
小八自 $2024$ 年 $1$ 月 $1$ 日起，每月 $1$ 日存入 $1000$ 元，銀行月利率 $2\%$、每月月底計息一次。$2025$ 年 $3$ 月 $25$ 日把戶頭裡的錢全部提出。問可提出多少元？（四捨五入至整數；$1.02^{15}\approx1.3459$）
約 $17293$ 元
做法：$2024/1$ 到 $2025/3$ 共 $15$ 筆。$3$ 月那筆還沒到月底、不計息（滾 $0$ 個月）；$1$ 月 $2024$ 那筆經過 $14$ 個月底。
$1000\left(1+1.02+1.02^2+\cdots+1.02^{14}\right)=1000\cdot\dfrac{1.02^{15}-1}{0.02}=1000\cdot\dfrac{0.3459}{0.02}\approx17293$。
常見錯誤：以為 $15$ 筆各滾 $15,14,\dots,1$ 個月（多算一個月的利息）。「月底計息、月中提出」是題目埋的釘子。L5-5衍生數列是否等差／等比：算差或比；「公差比原來大」要看 d 的正負；「r=−1 全為 0」是等比的隱形反例建國中學 111下 多 11
$\langle a_n\rangle$ 為等差、$\langle b_n\rangle$ 為等比（各項皆實數）。選出正確的選項。
(1) $c_n=a_n+a_{n+1}$，則 $\langle c_n\rangle$ 是等差 (2) $d_n=a_{5n}-a_{4n+3}$，則 $\langle d_n\rangle$ 是等差且公差與 $\langle a_n\rangle$ 相同 (3) $e_n=a_{5n}+a_{4n+3}$，則 $\langle e_n\rangle$ 是等差且公差比 $\langle a_n\rangle$ 的大 (4) $f_n=b_{5n}\cdot b_{4n+3}$，則 $\langle f_n\rangle$ 是等比 (5) $g_n=b_n+b_{n+1}$，則 $\langle g_n\rangle$ 是等比
(1)(2)(4)
做法：設公差 $d$。$a_{5n}-a_{4n+3}=(5n-4n-3)d=(n-3)d$，相鄰差 $d$ ✔(2)；$a_{5n}+a_{4n+3}=2a_1+(9n-3)d$，公差 $9d$，$d\lt0$ 時 $9d\lt d$ ✘(3)。
(1) 差 $2d$ ✔。(4) $f_n=b_1^2r^{9n+1}$，公比 $r^9$ ✔。(5) $g_n=b_n(1+r)$：$r=-1$ 時每一項都是 $0$，$0,0,0,\dots$ 不是等比數列（公比無意義）✘。
L5-64,10,20 的階差：一階差 6,10 是三角形數、二階差 4,5 等差，每層點數是三角形數，總數是「四面體數」台中一中 111下 填 14
如圖，用單位長鋼條焊接四面體鐵架：圖 $1$ 有 $2$ 層共 $4$ 個焊接點，圖 $2$ 有 $3$ 層共 $10$ 個，圖 $3$ 有 $4$ 層共 $20$ 個。依此規律，圖 $9$（$10$ 層）共有多少個焊接點？
$220$
做法：第 $j$ 層是邊長 $j$ 的三角形點陣，有 $\dfrac{j(j+1)}2$ 個點；$m$ 層總數 $=\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\dfrac{j(j+1)}2=\dfrac{m(m+1)(m+2)}6$（例題 20 的公式）。
對圖檢查：圖 $3$ 由上往下各層 $1,3,6,10$ 個焊接點，和是 $20$；$m=2,3,4$：$4,10,20$ ✔；$m=10$：$\dfrac{10\cdot11\cdot12}6=220$。
科學班・教甄專區（18 題）
來源：嘉義高中 114、115 科學班甄選（國三程度，題目只用到等差、等比與計數）；東石高中 112、高雄市 112、桃園市 112、台中一中 112、士林高商 108、政大附中 107、竹北高中 101、新化高中 101 各校教師甄選。掃描卷以 Windows 內建 OCR 讀出後逐題重打；答案全部重新解過並經電腦驗算（新化 101 第 1 題原答案卡印 $4$、正確為 $2$，本書改成不需要極限的有限版本；極限是高三選修才學）。教甄題偏「教學眼光」：不只求答案，還要能講出為什麼。另收 114 年臺中二中、湖口高中教甄的改編題（換數字，答案重新驗算）。
S1嘉中科學班：S₁₀、S₂₀ 求 S₃₀：三段和成等比，1024、512、256嘉義高中 115 科學班 填 2
某等比數列前 $10$ 項的和 $S_{10}=1024$、前 $20$ 項的和 $S_{20}=1536$。求前 $30$ 項的和 $S_{30}$。
$S_{30}=1792$
做法：$S_{10},\ S_{20}-S_{10},\ S_{30}-S_{20}$ 成等比：$1024,\ 512$ ⟹ 公比 $\dfrac12$ ⟹ 第三段 $256$。
$S_{30}=1024+512+256=1792$。
（$r^{10}=\frac12$，$r$ 本身是無理數，但不需要算出來，用「三段和」來看就能避開。）S2嘉中科學班：1 到 100 取兩相異數和大於 100：固定大的數 b，小的數有 2b−101 種；再加一個等差級數嘉義高中 114 科學班 填 5
從 $1$ 到 $100$ 的正整數中一次取兩個相異的數，使它們的和大於 $100$，共有幾種取法？
$2500$ 種
做法：設較大的數為 $b$（$51\le b\le100$），較小的 $a$ 須滿足 $101-b\le a\le b-1$，共 $2b-101$ 種。
$\displaystyle\sum_{b=51}^{100}(2b-101)=1+3+5+\cdots+99=50^2=2500$。
（另解：所有取法 $\binom{100}2=4950$，和恰為 $100$ 的有 $49$ 對，其餘依「$(a,b)\leftrightarrow(101-a,101-b)$」一一對應分成和 $\gt100$ 與 $\lt101$ 兩半，故 $\frac{4950-49}2+49=2500$。）S3嘉中科學班：L 形矩尺罩住 7 欄數表的三格：四種擺法的和是 3x+8、3x+9、3x+15、3x+16，只有一種被 346 整除得出整數嘉義高中 114 科學班 填 3
數表第一列為 $1$ 至 $7$，第二列為 $8$ 至 $14$，依此類推。用一個 L 形（$2\times2$ 缺一格）的透明矩尺罩住三個數，矩尺可平移及旋轉。若罩住的三數之和為 $346$，求三數中最小的數。
$111$
做法：任一 $2\times2$ 方塊的四個數是 $x,\ x+1,\ x+7,\ x+8$（$x$ 不在第 $7$ 欄）。缺一格的三數和分別為 $3x+16,\ 3x+15,\ 3x+9,\ 3x+8$。
$346-16=330=3\cdot110$ ✔；$346-15=331$、$346-9=337$、$346-8=338$ 都不是 $3$ 的倍數。故 $x=110$（第 $16$ 列第 $5$ 欄，不在邊界），罩住 $111,117,118$，最小為 $111$。
S4分式遞迴 $a_{n+1}=(a_n+3)/(2a_n-4)$：解兩個不動點 3、−1/2，(aₙ−3)/(aₙ+1/2) 是等比東石高中 112 教甄 計 2
已知遞迴數列滿足 $a_1=\dfrac12$、$a_{n+1}=\dfrac{a_n+3}{2a_n-4}$。求一般項 $a_n$（以 $n$ 表示）。
$a_n=\dfrac{3\cdot2^{\,n+1}+(-5)^n}{2^{\,n+1}-2\cdot(-5)^n}$
做法：不動點 $x=\dfrac{x+3}{2x-4}$ ⟹ $2x^2-5x-3=0$ ⟹ $x=3$ 或 $-\dfrac12$。兩個不動點就做「差的比」：$b_n=\dfrac{a_n-3}{a_n+\frac12}$。
$a_{n+1}-3=\dfrac{-5(a_n-3)}{2a_n-4}$、$a_{n+1}+\dfrac12=\dfrac{2a_n+1}{2a_n-4}=\dfrac{2\left(a_n+\frac12\right)}{2a_n-4}$ ⟹ $b_{n+1}=-\dfrac52b_n$，$b_1=\dfrac{\frac12-3}{1}=-\dfrac52$ ⟹ $b_n=\left(-\dfrac52\right)^n$。
反解：$a_n-3=b_n\left(a_n+\frac12\right)$ ⟹ $a_n=\dfrac{3+\frac{b_n}2}{1-b_n}=\dfrac{6+b_n}{2(1-b_n)}$，通分 $2^n$ 得上式。驗 $n=1$：$\dfrac{12-5}{4+10}=\dfrac12$ ✔
課綱內的一個不動點法對付 $a_{n+1}=pa_n+q$；兩個不動點的「差的比」是同一個想法的分式版，高三選修數甲的分式遞迴會再遇到。S5三項等比、+4 變等差、再 +32 變等比：設 a,ar,ar²，兩條件消去 r 得 a 的二次方程政大附中 107 教甄 一
一個等比數列有三項。若把第二項加上 $4$，所得三項成等差數列；再把這等差數列的第三項加上 $32$，所得三項又成等比數列。求原來的等比數列。
$2,6,18$ 或 $\dfrac29,-\dfrac{10}9,\dfrac{50}9$
做法：設 $a,ar,ar^2$。等差：$2(ar+4)=a+ar^2$ ⟹ $a(r-1)^2=8$；等比：$(ar+4)^2=a(ar^2+32)$ ⟹ $8ar+16=32a$ ⟹ $r=4-\dfrac2a$。
代入：$a\left(3-\dfrac2a\right)^2=8$ ⟹ $(3a-2)^2=8a$ ⟹ $9a^2-20a+4=0$ ⟹ $a=2$ 或 $\dfrac29$。
$a=2$：$r=3$，得 $2,6,18$（驗：$2,10,18$ 等差；$2,10,50$ 等比 ✔）。$a=\dfrac29$：$r=-5$，得 $\dfrac29,-\dfrac{10}9,\dfrac{50}9$（驗：$\dfrac29,\dfrac{26}9,\dfrac{50}9$ 等差；$\dfrac29,\dfrac{26}9,\dfrac{338}9$ 等比，公比 $13$ ✔）。
S6二階遞迴 $a_{n+2}=\tfrac13a_{n+1}+\tfrac23a_n$：移項成「相鄰差」的等比：$a_{n+2}-a_{n+1}=-\tfrac23(a_{n+1}-a_n)$竹北高中 101 教甄 填 10
數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $a_1=1$、$a_2=2$，$a_{n+2}=\dfrac13a_{n+1}+\dfrac23a_n$（$n\ge1$）。求一般項 $a_n$。
$a_n=\dfrac85-\dfrac35\left(-\dfrac23\right)^{n-1}$
做法：$a_{n+2}-a_{n+1}=-\dfrac23(a_{n+1}-a_n)$，所以差 $d_n=a_{n+1}-a_n$ 是首項 $1$、公比 $-\dfrac23$ 的等比。
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\dfrac23\right)^{k-1}=1+\dfrac{1-\left(-\frac23\right)^{n-1}}{1+\frac23}=1+\dfrac35\left[1-\left(-\dfrac23\right)^{n-1}\right]=\dfrac85-\dfrac35\left(-\dfrac23\right)^{n-1}$。驗 $n=3$：$a_3=\dfrac23+\dfrac23=\dfrac43$，公式 $\dfrac85-\dfrac35\cdot\dfrac49=\dfrac{24-4}{15}=\dfrac43$ ✔
「係數和為 $1$」的二階遞迴一定能這樣拆；教學手冊「陸」有更一般的說法。S7$(1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}})$：前面補一個 (2−1)，平方差一路滾成 $2^{2^n}-1$新化高中 101 教甄 填 1（改寫）
設 $a_n=2^{\,n-1}$。求 $\dfrac{(1+2^{a_1})(1+2^{a_2})\cdots(1+2^{a_n})}{2^{\,a_1+a_2+\cdots+a_n}}$（以 $n$ 表示）。
$2-2^{\,1-2^{n}}$，即 $\dfrac{2^{2^n}-1}{2^{2^n-1}}$
做法：分子乘上 $(2-1)=1$ 不改變值：$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\cdots(2^{2^{n-1}}+1)=2^{2^n}-1$（每一步都是平方差）。分母 $2^{1+2+\cdots+2^{n-1}}=2^{2^n-1}$。
比值 $=\dfrac{2^{2^n}-1}{2^{2^n-1}}=2-\dfrac{1}{2^{2^n-1}}$。驗 $n=1$：$\dfrac{3}{2}$，公式 $2-\dfrac12$ ✔；$n=2$：$\dfrac{3\cdot5}{8}=\dfrac{15}8$，公式 $2-\dfrac18$ ✔
原題問的是 $n$ 無限大時的值（那是高三選修才學的極限），答案 $2$；原卷答案卡印 $4$ 是錯的。S81 與 19 間插入 2n 個數、前後各 n+1 項和之比 1:3：兩段和都是「項數 × 中項」，(2n+1)d=18 配 (2n−1)d=14新化高中 101 教甄 填 3
在 $1$ 與 $19$ 間插入 $2n$ 個數，使其成為 $2n+2$ 項的等差數列，公差為 $d$。若此數列前 $n+1$ 項之和與後 $n+1$ 項之和的比為 $1:3$，求 $(n,d)$。
$(n,d)=(4,2)$
做法：$19=1+(2n+1)d$。前 $n+1$ 項和 $=\dfrac{(n+1)(1+a_{n+1})}2=\dfrac{(n+1)(2+nd)}2$；後 $n+1$ 項和 $=\dfrac{(n+1)(a_{n+2}+19)}2=\dfrac{(n+1)(20+(n+1)d)}2$。
$\dfrac{2+nd}{20+(n+1)d}=\dfrac13$ ⟹ $6+3nd=20+nd+d$ ⟹ $(2n-1)d=14$。與 $(2n+1)d=18$ 相減：$2d=4$ ⟹ $d=2$，$2n+1=9$ ⟹ $n=4$。
驗：$1,3,5,\dots,19$ 共 $10$ 項，前 $5$ 項和 $25$、後 $5$ 項和 $75$，比 $1:3$ ✔
S9含 log₂、log₄、log₈ 的三項成等比：令 s=log₂2023、u=a−√2，三項是 s 與 u 的一次式，等比條件變 s、u 的齊次二次式高雄市 112 教甄 5
設 $a$ 為實數，且 $-a+\sqrt2+\log_22023$、$2a-2\sqrt2+\log_42023$、$-4a+4\sqrt2+\log_82023$ 三數成等比數列。求此數列的公比。
$\dfrac{8}{15}$
做法：令 $s=\log_22023$、$u=a-\sqrt2$，則三項為 $s-u,\ \dfrac s2+2u,\ \dfrac s3-4u$（$\log_4=\frac12\log_2$、$\log_8=\frac13\log_2$）。乘 $6$：$6s-6u,\ 3s+12u,\ 2s-24u$。
等比：$(3s+12u)^2=(6s-6u)(2s-24u)$ ⟹ $9s^2+72su+144u^2=12s^2-156su+144u^2$ ⟹ $3s^2=228su$ ⟹ $s=76u$（$s\ne0$）。
公比 $=\dfrac{3s+12u}{6s-6u}=\dfrac{228u+12u}{456u-6u}=\dfrac{240}{450}=\dfrac8{15}$。
（$2023$ 這個數字不重要，出題者只是要你認出 $\log_4,\log_8$ 與 $\log_2$ 的倍數關係。）S10Sₙ/Tₙ 給定，求 a₁₀/(b₃+b₁₈)+a₁₁/(b₆+b₁₅)：分母都等於 b₁+b₂₀，合併成 (a₁₀+a₁₁)/(b₁+b₂₀)=S₂₀/T₂₀桃園市 112 教甄 2
已知 $S_n,T_n$ 分別為等差數列 $\langle a_n\rangle,\langle b_n\rangle$ 的前 $n$ 項和，且 $\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{2n+1}{4n-2}$。求 $\dfrac{a_{10}}{b_3+b_{18}}+\dfrac{a_{11}}{b_6+b_{15}}$。
$\dfrac{41}{78}$
做法：等差中 $p+q=r+s$ ⟹ $b_p+b_q=b_r+b_s$：$b_3+b_{18}=b_6+b_{15}=b_1+b_{20}$。
原式 $=\dfrac{a_{10}+a_{11}}{b_1+b_{20}}=\dfrac{a_1+a_{20}}{b_1+b_{20}}=\dfrac{S_{20}}{T_{20}}=\dfrac{41}{78}$。
S11正項等比、a₃+a₄−a₂−a₁=8 求 a₅+…+a₈ 最小：令 k=a₁+a₂、s=r²：目標 8s²(s+1)/(s−1)，換元 u=s−1 後配算幾桃園市 112 教甄 5
在各項均為正數的等比數列 $\langle a_n\rangle$ 中，若 $a_3+a_4-a_2-a_1=8$，求 $a_5+a_6+a_7+a_8$ 的最小值。
$44+20\sqrt5$（在 $r^2=\dfrac{1+\sqrt5}2$ 時取到）
做法：令 $k=a_1+a_2$、$s=r^2\gt1$（各項正且和要增加）。$a_3+a_4=ks$ ⟹ $k(s-1)=8$；$a_5+\cdots+a_8=ks^2+ks^3=ks^2(1+s)=\dfrac{8s^2(s+1)}{s-1}$。
令 $u=s-1\gt0$：$\dfrac{8(u+1)^2(u+2)}{u}=8\left(u^2+4u+5+\dfrac2u\right)$。對 $u^2+4u+\dfrac2u$ 用「取到 $u^3+2u^2-1=0$」的配法：$(u+1)(u^2+u-1)=0$ ⟹ $u=\dfrac{-1+\sqrt5}2$，此時 $s=\dfrac{1+\sqrt5}2=\varphi$。
代回：$\varphi^2=\varphi+1$、$\varphi-1=\dfrac1\varphi$ ⟹ 目標 $=8\varphi^2(\varphi+1)\varphi=8\varphi^5=8(5\varphi+3)=40\varphi+24=44+20\sqrt5\approx88.7$。
「$u^3+2u^2-1=0$」是把目標對 $u$ 微分得到的（高三選修才學）；課綱內的寫法：把目標寫成 $8\left[(u^2+4u+4)+\left(1+\dfrac2u\right)\right]$ 之類的形式逐段估，或直接列表試 $s=1.5,1.6,1.62,1.7$ 看出最小值在 $1.618$ 附近，再驗證 $\varphi$ 給的值。教甄題就是要老師用微分找到答案、再用課綱內的方法解釋。S1211 次方程式的根成等差：根的和給中項、兩兩乘積和給 Σ根²，配 1²+2²+…+5² 解 d²台中一中 112 教甄 填 4
實係數方程式 $x^{11}+6x^{10}+5x^9+a_8x^8+\cdots+a_1x+a_0=0$ 的 $11$ 個根形成等差數列。求此數列的公差。
$d=\pm\dfrac{5}{11}$
做法：設根為 $m-5d,\dots,m,\dots,m+5d$。根的和 $=11m=-6$ ⟹ $m=-\dfrac6{11}$；兩兩乘積和 $=5$ ⟹ $\sum(\text{根})^2=(-6)^2-2\cdot5=26$。
$\sum(\text{根})^2=11m^2+2d^2(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)=\dfrac{36}{11}+110d^2=26$ ⟹ $110d^2=\dfrac{250}{11}$ ⟹ $d^2=\dfrac{25}{121}$ ⟹ $d=\pm\dfrac5{11}$。
「根的和 $=-\frac{a_{10}}{1}$、兩兩積之和 $=a_9$」是高一上三次方程式根與係數的推廣，$n$ 次的版本要到高三選修才正式寫，教甄可以直接用。S13f(n)=(4/5)ⁿ(n²+4n) 何時最大：看比值 f(n+1)/f(n)≥1 的範圍，最大項在比值由 ≥1 轉 <1 的地方台中一中 112 教甄 填 5
設 $n$ 為正整數，$f(n)=\left(\dfrac45\right)^n(n^2+4n)$。求使 $f(n)$ 最大的 $n$。
$n=7$
做法：$\dfrac{f(n+1)}{f(n)}=\dfrac45\cdot\dfrac{(n+1)^2+4(n+1)}{n^2+4n}=\dfrac45\cdot\dfrac{n^2+6n+5}{n^2+4n}$。
$\ge1$ ⟺ $4n^2+24n+20\ge5n^2+20n$ ⟺ $n^2-4n-20\le0$ ⟺ $n\le2+\sqrt{24}\approx6.9$。
所以 $f(1)\lt f(2)\lt\cdots\lt f(6)\lt f(7)$，而 $f(8)\lt f(7)$，最大在 $n=7$。
（$f(7)=\frac{4^7\cdot77}{5^7}\approx16.15$，$f(6)\approx15.73$，$f(8)\approx16.10$，確實只差一點點，比值法比硬算穩。）S142023 個點、$P_k$ 到 $P_{k+1}$ 距離 $1/k$，求所有兩點距離總和：換個方向數：每一段 $1/k$ 被多少對點「跨過」台中一中 112 教甄 填 7
將 $2023$ 個點 $P_1,P_2,\dots,P_{2023}$ 依序排在一直線上，使 $P_k$ 與 $P_{k+1}$ 的距離為 $\dfrac1k$（$k=1,\dots,2022$）。求從這 $2023$ 個點中任取兩點的所有距離總和。
$2045253$
做法：任兩點的距離是「中間各小段的和」。改成對每一小段 $P_kP_{k+1}$（長 $\dfrac1k$）數：它被 $P_i,P_j$（$i\le k\lt j$）跨過的對數是 $k\times(2023-k)$。
總和 $=\displaystyle\sum_{k=1}^{2022}\dfrac1k\cdot k(2023-k)=\sum_{k=1}^{2022}(2023-k)=2022+2021+\cdots+1=\dfrac{2022\cdot2023}2=2045253$。
$\frac1k$ 被 $k$ 消掉是設計好的；換成 $n$ 個點答案就是 $\frac{n(n-1)}2$。「交換求和的順序」和講義難題 H10 是同一招。S15n 個相異正奇數＋m 個相異正偶數和為 1000，求 6n+8m 最大：最小可能和 n²+m(m+1)≤1000，再看奇偶士林高商 108 教甄 計 3
已知 $n$ 個相異的正奇數與 $m$ 個相異的正偶數的和為 $1000$。求 $6n+8m$ 的最大值。
$312$（$n=20,\ m=24$）
做法：$n$ 個相異正奇數最小的和是 $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$；$m$ 個相異正偶數最小的和是 $2+4+\cdots+2m=m(m+1)$。可行的 $(n,m)$ 必須 $n^2+m(m+1)\le1000$，而且 $n$ 個奇數的和與 $n$ 同奇偶、總和 $1000$ 為偶 ⟹ $n$ 是偶數。只要滿足這兩件事，把最大的那個數加大就能湊到 $1000$。
在 $n^2+m(m+1)\le1000$、$n$ 偶之下極大化 $6n+8m$：邊界大約是橢圓 $n^2+\left(m+\frac12\right)^2\approx1000$，目標的梯度 $(6,8)$ 指向 $n:\left(m+\frac12\right)=3:4$ 的方向 ⟹ $n\approx19$、$m\approx24.5$。試 $n=20,m=24$：$400+600=1000$ ✔（恰好），$6n+8m=312$；$n=18,m=25$：$324+650=974$ ✔，$308$；$n=22,m=22$：$484+506=990$ ✔，$308$；$n=20,m=25$：$400+650\gt1000$ ✘。最大 $312$。
構造：$1,3,\dots,39$（和 $400$）與 $2,4,\dots,48$（和 $600$）。「梯度方向」是大學的說法，考卷上寫「列表比較邊界附近的整數點」即可。S16分母看起來很亂：令 $u=3^k$ 通分，分母是 $\frac{(u^2-1)(3u-1)}{u^2}$，一般項裂成 $\frac1{3^k-1}-\frac1{3^{k+1}-1}$改編自 臺中二中 114 教甄 填 10
求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\frac{2\cdot3^{-k}+2}{3^{-2k}-3^{-k+1}+3^{k+1}-1}$ 的值。
$\dfrac12-\dfrac{1}{3^{101}-1}=\dfrac{3^{101}-3}{2\left(3^{101}-1\right)}$
做法：負次方先處理掉：令 $u=3^k$，分子分母同乘 $u^2$。
分子：$2\cdot3^{-k}+2=\dfrac{2}{u}+2=\dfrac{2(u+1)}{u}$。
分母：$\dfrac1{u^2}-\dfrac3u+3u-1=\dfrac{1-3u+3u^3-u^2}{u^2}=\dfrac{u^2(3u-1)-(3u-1)}{u^2}=\dfrac{(u^2-1)(3u-1)}{u^2}$。
一般項 $=\dfrac{2(u+1)}{u}\cdot\dfrac{u^2}{(u-1)(u+1)(3u-1)}=\dfrac{2u}{(u-1)(3u-1)}=\dfrac1{u-1}-\dfrac1{3u-1}$
（驗：$\dfrac{(3u-1)-(u-1)}{(u-1)(3u-1)}=\dfrac{2u}{(u-1)(3u-1)}$ ✔）。
$3u-1=3^{k+1}-1$，所以一般項 $=\dfrac1{3^k-1}-\dfrac1{3^{k+1}-1}$，相加時中間全部消掉：
$\displaystyle\sum_{k=1}^{100}=\frac1{3-1}-\frac1{3^{101}-1}=\frac12-\frac1{3^{101}-1}=\frac{3^{101}-3}{2\left(3^{101}-1\right)}$。
S17$(\alpha+3)(\beta+3)$ 用根與係數化成 $n(n+1)$，再裂項相消改編自 湖口高中 114 教甄 計算 2
$n$ 為正整數，方程式 $x^2-2nx+(n^2-5n-9)=0$ 的兩根為 $\alpha_n$、$\beta_n$，求 $\displaystyle\sum_{n=2}^{2025}\frac{1}{(\alpha_n+3)(\beta_n+3)}$。
$\dfrac{506}{1013}$
做法：不必解出根，$(\alpha+3)(\beta+3)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9$ 直接用根與係數。
$\alpha_n+\beta_n=2n$、$\alpha_n\beta_n=n^2-5n-9$（判別式 $4(5n+9)\gt0$，兩根都是實數）。
$(\alpha_n+3)(\beta_n+3)=n^2-5n-9+6n+9=n^2+n=n(n+1)$。
$\displaystyle\sum_{n=2}^{2025}\frac1{n(n+1)}=\sum_{n=2}^{2025}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\frac12-\frac1{2026}=\frac{1012}{2026}=\frac{506}{1013}$。
S18$(\sqrt6+\sqrt7)^{2026}$ 的整數部分：配上 $(13-2\sqrt{42})^{1013}$ 湊成整數 $a_n$，遞迴 $a_n=26a_{n-1}-a_{n-2}$ 只看個位數改編自 湖口高中 114 教甄 填 12
以 $[x]$ 表示不大於 $x$ 的最大整數。求 $\left[(\sqrt6+\sqrt7)^{2026}\right]$ 的個位數字。
$5$
做法：$(\sqrt6+\sqrt7)^2=13+2\sqrt{42}$，它的「共軛」$13-2\sqrt{42}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，兩者的 $n$ 次方相加是整數。
令 $p=13+2\sqrt{42}$、$q=13-2\sqrt{42}$，$p+q=26$、$pq=169-168=1$；$2\sqrt{42}=\sqrt{168}$ 介於 $12$ 與 $13$ 之間，所以 $0\lt q\lt1$。
令 $a_n=p^n+q^n$，由 $p^2=26p-1$、$q^2=26q-1$ 得 $a_n=26a_{n-1}-a_{n-2}$，$a_0=2$、$a_1=26$，全部是整數。
$(\sqrt6+\sqrt7)^{2026}=p^{1013}=a_{1013}-q^{1013}$，而 $0\lt q^{1013}\lt1$ ⟹ 整數部分 $=a_{1013}-1$。
只看個位數：$a_n\equiv6a_{n-1}-a_{n-2}\pmod{10}$，從 $a_0$ 起依序為 $2,6,4,8,4,6,2,6,\ldots$，每 $6$ 項循環（$a_6$、$a_7$ 又回到 $2,6$）。
$1013=6\times168+5$，所以 $a_{1013}$ 的個位數與 $a_5$ 相同，是 $6$；整數部分的個位數是 $6-1=5$。
$a_2=674$、$a_3=17498$、$a_4=454274$、$a_5=11793626$，個位數 $4,8,4,6$ ✔。這題用到二階遞迴，課綱以一階為主，所以放在 L5。附圖題（1 題）
L5-7 是大考的附圖題：正五邊形陣列怎麼排，題幹沒有用文字說，要從圖上讀出來。圖依原題重新繪製。
L5-7三角形、正方形、五邊形陣列的鋼珠數：三角形數、平方數好寫，五邊形陣列要從圖上看「每大一圈多幾顆」97 指考 數甲 選填 A
用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列，其排列的規律如下圖所示。已知 $m$ 個鋼珠恰好可以排成每邊 $n$ 個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各一個；且知若用這 $m$ 個鋼珠去排成每邊 $n$ 個鋼珠的正五邊形陣列時，就會多出 $9$ 個鋼珠。求 $n$ 與 $m$。
$n=9$、$m=126$
做法：把三種陣列「每邊 $n$ 個」時的鋼珠數都寫成 $n$ 的式子。正三角形陣列是 $1+2+\cdots+n$，正方形陣列是 $n^2$；正五邊形陣列要從圖上數前幾個，再看每大一圈多幾顆。
正三角形陣列：$\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個；正方形陣列：$n^2$ 個。
正五邊形陣列：從圖上數，每邊 $1$、$2$、$3$、$4$ 個時共有 $1$、$5$、$12$、$22$ 個，相鄰相差 $4$、$7$、$10$。看圖找原因：每邊從 $k$ 個變成 $k+1$ 個時，外面多套一個大一號的五邊形，它和原來的陣列共用左下角的頂點與兩條邊的方向，新增的鋼珠在另外三條邊上（連同兩條共用邊各自延長出去的那一顆），共 $3k+1$ 個。
所以每邊 $n$ 個的正五邊形陣列有 $1+4+7+\cdots+(3n-2)=\dfrac{n(1+3n-2)}{2}=\dfrac{n(3n-1)}{2}$ 個。
依題意 $m=\dfrac{n(n+1)}{2}+n^2$，且 $m=\dfrac{n(3n-1)}{2}+9$。兩式相等：$\dfrac{3n^2+n}{2}=\dfrac{3n^2-n}{2}+9$ ⟹ $n=9$。
$m=\dfrac{9\times10}{2}+81=45+81=126$。
檢查：每邊 $9$ 個的正五邊形陣列有 $\dfrac{9\times26}{2}=117$ 個，$126-117=9$ ✔。$1$、$5$、$12$、$22$、… 叫做五邊形數；這一題不需要事先背它，從圖上的階差 $4$、$7$、$10$ 就能寫出來。