L1基礎程度：先把這些練熟
對象國中根式、分數還不穩，看到根號或絕對值會慌的同學。
目標26 個基本型，每型看到題目 30 秒內知道要做什麼。
通過標準每小節的檢測 10 題兩天各全對一輪（第二輪隔天用「換一組類似題」，猜對不算），再進 L2；標題列會顯示精熟狀態。
1-1 數與數線
先要會：判斷有理／無理、循環小數 ⇄ 分數（純循環分母 9…、混循環分母 9…0…）、分母只含 2、5 才是有限小數、數線上的分點座標（$P=\dfrac{nA+mB}{m+n}$，靠近哪點該點權重大）、有理數與無理數的四則：整理成「有理數＋有理數 $\times\sqrt k$」，$\sqrt k$ 的係數是 $0$ 才是有理數。
1-2 根式運算與算幾不等式
先要會：化簡 $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$、同類根式合併、有理化（單根號乘自己；$a+\sqrt b$ 乘共軛 $a-\sqrt b$）、雙重根號 $\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt a\pm\sqrt b$、整數部分＝夾在哪兩個平方數之間、算幾：$x+\dfrac{k}{x}\ge2\sqrt k$，等號在 $x=\sqrt k$、根式比大小：根號外的係數平方後放進根號再比。
1-3 絕對值
先要會：$|a|$ 的化簡看正負、$|ax+b|=c$ 拆成兩個方程式、$|ax+b|\lt c\iff -c\lt ax+b\lt c$、$\gt c$ 則向外、$|x-a|+|x-b|$ 的最小值是 $|a-b|$（$x$ 在兩點之間）、已知 $|x-a|\le b$ 求 $cx+d$ 的範圍：先拆成 $a-b\le x\le a+b$，再乘、再加（乘負數要反向）。
1-4 指數與對數
先要會：指數律三條（同底相乘指數加、次方相乘、分數指數＝根號）、同底比大小看底數是否大於 1、科學記號 $a\times10^n$（$1\le a\lt10$）、$\log$ 三種基本值：$\log10^k=k$、$\log_a a^k=k$、$\log 1=0$、位數＝$[\log N]+1$、同底的指數方程式：化成同底後指數相等、$\log(ab)=\log a+\log b$（由 $a=10^{\log a}$ 與指數律推出），$\log5=1-\log2$。
L1 混合檢測 12 題（全章 26 型打亂，練「判斷這是哪一型」）
L2中等程度：段考的主力題型
對象L1 已過關，段考想拿到 60–75 分的同學。
目標23 個段考最常見題型（依段考卷出現率選出；2026-09-28 用題庫 116 份高一段考卷重新統計，補了 6 型），每型都能自己完整寫出過程。
通過標準本級混合檢測 12 題兩天各全對一輪（換組重測、猜對不算）、且每張卡片連續新題 3 次全對。
1-1 循環小數的運算與指定位數
116 份高一段考卷中循環小數 79 卷、指定位數 39 卷。解題要點：先全部化成分數再運算；指定位數則「先數幾位不循環，再用餘數對週期」。
1-2 根式：係數比較、整數／小數部分、對稱式、算幾條件極值、裂項、比大小
116 份高一段考卷中根式化簡與運算 111 卷、雙重根號 86 卷、根式比大小 74 卷、算幾 64 卷、整數與小數部分 61 卷、有理化 55 卷。解題要點：$a+b\sqrt p=c+d\sqrt p$（有理）⟹ $a=c,\ b=d$；小數部分＝原數 − 整數部分，再拿去做四則；對稱式：先算 $x+\dfrac1x$ 再平方、立方；條件極值：把目標拆成「乘積為定值」的兩項再用算幾；裂項：每一項有理化成 $\dfrac{\sqrt{k+d}-\sqrt k}{d}$，中間全部消掉；$\sqrt a+\sqrt b$ 比大小：平方後比，$a+b$ 相同就比 $ab$。
1-3 絕對值：複合不等式、參數、整數解、驗根、已知範圍求最值
116 份高一段考卷中絕對值不等式 89 卷、反推參數 74 卷、距離和最小值 65 卷、已知範圍求範圍 60 卷、絕對值方程式 44 卷、整數解 32 卷。解題要點：夾層 $c\le|ax+b|\le d$ 拆成兩段區間；$|x-a|+|x-b|$ 圖形是「碗」，$\ge k$ 向外、$\le k$ 向內；奇數個絕對值和的最小值在中位點；整數解個數 ⟹ 先解出區間，再數格點，注意端點含不含；$|ax+b|=cx+d$：右邊要 $\ge0$，拆開解完一定要代回檢查；已知 $x$ 的範圍求 $|cx+d|$ 的最值：先求 $cx+d$ 的範圍，跨過 $0$ 時最小值是 $0$。
1-4 指對數：指數方程、位數與首位、小數首位、複利、分數指數、對數尺度
116 份高一段考卷中指數律與分數指數 83 卷、常用對數 57 卷、位數 52 卷、指數方程 47 卷、成長與衰減 42 卷、地震規模／分貝／pH 26 卷。解題要點：換元 $t=a^x$ 變二次方程；$x+\dfrac1x$ 型指數對稱式先平方；位數＝首數 $+1$、最高位數字看尾數落在 $\log1\sim\log9$ 哪一格；小數點後第 $k$ 位開始不為 0 ⟺ $\log N=-k+(\text{尾數})$；複利：$(1+r)^n\ge k$ 取 $\log$，$n\ge\dfrac{\log k}{\log(1+r)}$，向上取整；分數指數：底數先寫成某數的 $n$ 次方，$(b^n)^{\frac mn}=b^m$；對數尺度（地震規模、分貝、pH）：兩式相減得到 $\log$ 的比值，再還原成 $10$ 的次方。
L2 混合檢測 12 題（全 23 型打亂・可列印・可換組）
L3中上程度：讀到關鍵字就知道切入點
對象L2 已穩，段考想從 75 分往 90 分推的同學。
目標18 題各校段考中後段常見題：每題附「關鍵字」和「做法」，練到一看到關鍵字就知道先做什麼；每題都能按「🎲 類似題」換數字再練。
通過標準18 題全部能獨立完成，且說得出每題用的是什麼方法；本級混合檢測 10 題連續兩輪全對。
題目來源標示為出題學校與年度；標「改編自」的題目改過數字或問法。答案與詳解皆重新驗算過（部分官方答案有誤已修正）。
L3-1指定位數：分開處理有限與循環台中女中 111 上
將 $\dfrac{17}{40}+\dfrac{2}{271}$ 化為小數，求小數點後第 $2024$ 位的數字。
$3$
做法：有限小數只影響前幾位，遠處的位數全看循環那一項。
$\dfrac{17}{40}=0.425$ 只有 3 位；$\dfrac{1}{271}=0.\overline{00369}$，故 $\dfrac{2}{271}=0.\overline{00738}$（週期 5）。相加後第 4 位以後不受 $0.425$ 影響（沒有進位往右傳的問題），所以第 $2024$ 位就是 $\dfrac{2}{271}$ 的第 $2024$ 位：$2024=5\times404+4$，取週期第 4 個數字 $3$。
L3-2帶分數開根號：先驗完全平方，再找週期段考常見題
求 $\sqrt{443\dfrac{1}{441}}$ 化為小數後，小數點後第 $111$ 位的數字。
$7$
做法：$443\frac1{441}=\frac{443\cdot441+1}{441}=\frac{195364}{441}$，分子分母都是完全平方數（$442^2$、$21^2$）。
$\sqrt{\dfrac{195364}{441}}=\dfrac{442}{21}=21.0\overline{476190}$。小數點後第 1 位是 $0$，從第 2 位起以「476190」循環。第 $111$ 位：$111-1=110=6\times18+2$，取循環節第 2 個數字 $7$。
L3-3有理數 x, y、含 √：展開後係數比較台中一中 段考
設 $x,y$ 為有理數，且 $(6+\sqrt7)x+(y-2)(3-2\sqrt7)=6-14\sqrt7$，求 $(x,y)$。
$(x,y)=(-2,\,8)$
做法：整理成「有理部分」＋「無理部分」$\sqrt7$，兩邊分別相等。
左式 $=(6x+3y-6)+(x-2y+4)\sqrt7$。比較係數：$6x+3y-6=6$，$x-2y+4=-14$，即 $2x+y=4$、$x-2y=-18$。解得 $x=-2$、$y=8$。
L3-4雙重根號 ＋ 有理係數：先化簡再比較段考常見題
設 $x,y$ 為有理數，$x\sqrt{14+6\sqrt5}-y\sqrt{9-4\sqrt5}=8+\sqrt5$，求 $(x,y)$。
$(x,y)=(2,\,1)$
做法：$\sqrt{14+6\sqrt5}=\sqrt{(9+5)+2\sqrt{45}}=3+\sqrt5$；$\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt{(5+4)-2\sqrt{20}}=\sqrt5-2$（大減小）。
代入：$x(3+\sqrt5)-y(\sqrt5-2)=(3x+2y)+(x-y)\sqrt5=8+\sqrt5$，故 $3x+2y=8$、$x-y=1$，得 $x=2$、$y=1$。
L3-5根式相減比大小：有理化成「分子固定、比分母」段考常見題
設 $a=\sqrt{17}-\sqrt{11}$，$b=\sqrt{19}-\sqrt{13}$，$c=\sqrt{18}-\sqrt{10}$，$d=\sqrt{9-\sqrt{23}}$，比較 $a,b,c,d$ 的大小。
$d\gt c\gt a\gt b$
做法：$\sqrt m-\sqrt n=\dfrac{m-n}{\sqrt m+\sqrt n}$，分子相同時分母大的值小。
$a=\dfrac{6}{\sqrt{17}+\sqrt{11}}$，$b=\dfrac{6}{\sqrt{19}+\sqrt{13}}$，分母 $b$ 的較大，故 $a\gt b$。
$c=\dfrac{8}{\sqrt{18}+\sqrt{10}}$：估 $\sqrt{18}+\sqrt{10}\lt4.25+3.17=7.42$，故 $c\gt\dfrac{8}{7.42}\gt1$；而 $a\lt\dfrac{6}{4.1+3.3}\lt1$，故 $c\gt a$。
$d$：$\sqrt{23}\lt5$，故 $9-\sqrt{23}\gt4$，$d\gt2$；而 $c\lt\sqrt{18}-3\lt4.25-3=1.25$。故 $d\gt c\gt a\gt b$。
L3-6x²−4x−1=0：兩邊除以 x 得 x−1/x，對稱式建國中學 段考
設 $x\gt0$ 且 $x^2-4x-1=0$，求 $x^3+x^2+\dfrac1{x^2}-\dfrac1{x^3}$ 之值。
$94$
做法：$x\ne0$，兩邊除以 $x$：$x-\dfrac1x=4$。要的式子 $=\left(x^3-\dfrac1{x^3}\right)+\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)$。
$x^2+\dfrac1{x^2}=\left(x-\dfrac1x\right)^2+2=18$；$x^3-\dfrac1{x^3}=\left(x-\dfrac1x\right)^3+3\left(x-\dfrac1x\right)=64+12=76$。合計 $76+18=94$。
L3-7乘積為定值 ＋ 求線性式最小：把目標拆成該兩因式北一女中 段考
設 $x\gt2$，$y\gt-1$，且 $(x-2)(y+1)=\dfrac{27}{2}$，求 $3x+2y$ 的最小值。
$22$
做法：$3x+2y=3(x-2)+2(y+1)+4$，前兩項乘積 $=6\cdot\dfrac{27}{2}=81$ 是定值。
算幾：$3(x-2)+2(y+1)\ge2\sqrt{81}=18$，故 $3x+2y\ge22$。等號在 $3(x-2)=2(y+1)=9$，即 $x=5$、$y=\dfrac72$，符合條件。最小值 $22$。
L3-8平均成本最低：總成本/n 出現 n＋k/n，算幾台南女中 段考（改寫）
某公司買一台機器花 $100$ 萬元，第 $n$ 年的維修費為 $(2n-1)$ 萬元（第 1 年 1 萬、第 2 年 3 萬、……）。若使用 $n$ 年後報廢，問使用幾年時「每年平均總花費」最低？最低是多少？
$10$ 年，每年平均 $20$ 萬元
做法：前 $n$ 年維修費總和 $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$；平均 $=\dfrac{100+n^2}{n}=\dfrac{100}{n}+n$，典型的 $x+\dfrac kx$。
$\dfrac{100}{n}+n\ge2\sqrt{100}=20$，等號在 $n=\dfrac{100}{n}$，即 $n=10$（恰為整數）。故使用 $10$ 年，平均每年 $20$ 萬元。
L3-9|x−a|=3|x−b|：內分點與外分點各一個中山女中 段考
數線上 $A(a)$、$B(b)$、$P(x)$，$a\lt b$，且 $|x-a|=3|x-b|$。選出正確的選項：
(1) $\overline{PA}:\overline{PB}=3:1$ (2) $P$ 必在 $\overline{AB}$ 上 (3) $|a-b|\gt|x-a|$ (4) $x\gt\dfrac{a+b}{2}$ (5) $x\gt\dfrac{a+4b}{5}$
(1)(4)
做法：$\overline{PA}=3\overline{PB}$ 的點有兩個：$\overline{AB}$ 的 $3:1$ 內分點 $x_1=\dfrac{a+3b}{4}$，與外分點 $x_2=\dfrac{3b-a}{2}$（在 $B$ 右側）。
(1) 就是題意，正確。(2) 外分點不在線段上，錯。(3) 外分點時 $|x_2-a|=\dfrac32(b-a)\gt|a-b|$，錯。(4) $x_1-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b-a}{4}\gt0$，$x_2-\dfrac{a+b}2=\dfrac{2b-2a}{2}\gt0$，兩點都在中點右邊，正確。(5) $x_1-\dfrac{a+4b}{5}=\dfrac{5a+15b-4a-16b}{20}=\dfrac{a-b}{20}\lt0$，錯。
L3-10恰有 k 個整數解：先畫解集合，再卡參數範圍段考常見題
若不等式 $2\le|x-10|\le t$ 恰有 $4$ 個整數解，求 $t$ 的範圍。
$3\le t\lt4$
做法：解集合關於 $x=10$ 對稱：$10-t\le x\le8$ 或 $12\le x\le10+t$，整數解左右各半。
恰 4 個整數解 ⟹ 每側恰 2 個：右側要含 $12,13$ 但不含 $14$，即 $13\le10+t\lt14$，得 $3\le t\lt4$。（檢查：$t=3$ 時解為 $\{7,8,12,13\}$，$t=4$ 時多了 $6,14$ 變 6 個。）
L3-11|x−a|+|x−b|=k 解的個數：畫「碗形」圖，比 k 與底部 |a−b|段考常見題（改寫）
關於方程式 $|x+4|+|x-8|=k$，選出正確的選項：
(1) $k=3\pi$ 時無解 (2) $k=4\pi$ 時恰有兩解 (3) $k=12$ 時有無限多解 (4) 使方程式有解的最小 $k$ 為 $13$ (5) 在 $12\le k\le100$ 的整數中，共有 $89$ 個 $k$ 使方程式有解
(1)(2)(3)(5)
做法：$|x+4|+|x-8|$ 的最小值是 $8-(-4)=12$，在 $-4\le x\le8$ 整段都取到；$k\gt12$ 時恰兩解，$k\lt12$ 無解。
(1) $3\pi\approx9.42\lt12$，無解，正確。(2) $4\pi\approx12.57\gt12$，兩解，正確。(3) $k=12$：整段 $[-4,8]$ 都是解，正確。(4) 最小 $k=12$，錯。(5) $12\sim100$ 共 $89$ 個整數，全部有解，正確。
L3-12連等式 $9^a=15^b=25^c$：設 $=k$ 取 log，比較 $1/a$、$1/b$、$1/c$段考常見題
設 $a,b,c$ 為正數且 $9^a=15^b=25^c$，選出正確的選項：
(1) $ab+bc=2ac$ (2) $ab+bc=ac$ (3) $\dfrac2c=\dfrac2a+\dfrac1b$ (4) $\dfrac1c=\dfrac2b-\dfrac1a$ (5) $b^2=ac$
(1)(4)
做法：令共同值為 $k$，則 $\dfrac1a=\dfrac{\log9}{\log k}=\dfrac{2\log3}{\log k}$，$\dfrac1b=\dfrac{\log3+\log5}{\log k}$，$\dfrac1c=\dfrac{2\log5}{\log k}$。
於是 $\dfrac1a+\dfrac1c=\dfrac{2(\log3+\log5)}{\log k}=\dfrac2b$。同乘 $abc$：$bc+ab=2ac$，(1) 正確、(2) 錯。移項得 $\dfrac1c=\dfrac2b-\dfrac1a$，(4) 正確。(3) 相當於 $4\log5=5\log3+\log5$，錯。(5) $b^2=ac\iff(\log3+\log5)^2=4\log3\log5$，需 $\log3=\log5$，錯。
L3-13$100^x+100^{-x}$ 與 $10^x+10^{-x}$ 同時出現：設 $t=10^x+10^{-x}$台南一中 段考
解方程式 $4\left(100^x+100^{-x}\right)-10\left(10^x+10^{-x}\right)+8=0$。（$\log2\approx0.3010$）
$x=\log2$ 或 $x=-\log2$（約 $\pm0.3010$）
做法：令 $t=10^x+10^{-x}$（$t\ge2$），則 $100^x+100^{-x}=t^2-2$。
$4(t^2-2)-10t+8=0\Rightarrow4t^2-10t=0\Rightarrow t=\dfrac52$（$t=0$ 不合）。$10^x+10^{-x}=\dfrac52$，令 $u=10^x\gt0$：$2u^2-5u+2=0$，$u=2$ 或 $\dfrac12$，故 $x=\log2$ 或 $-\log2$。
L3-14半衰期／剩不到 p%：設 $n$ 個半衰期，$(1/2)^n$ 與 p% 比較段考常見題型（自編）
某放射性物質每 $30$ 年衰變為原來的一半。至少經過幾年，剩餘量會少於原來的 $1\%$？（$\log2\approx0.3010$）
$7$ 個半衰期，即 $210$ 年
做法：經 $n$ 個半衰期剩 $\left(\dfrac12\right)^n$，要 $\lt\dfrac1{100}$，取 $\log$。
$-n\log2\lt-2\Rightarrow n\gt\dfrac{2}{0.3010}\approx6.64$，故 $n=7$，$7\times30=210$ 年。（檢驗：$\dfrac1{2^6}=\dfrac1{64}\approx1.56\%$ 還不夠，$\dfrac1{2^7}=\dfrac1{128}\approx0.78\%$ 才行。）
L3-15log 的值落在 (0,1)：原數在 1 到 10 之間；按兩次就套兩層台中一中 段考
有台計算機，先按出 $x$ 再按一次 $\log$ 鍵會得到 $\log x$。選出正確的選項：
(1) 按出 $1000$ 再按一次 $\log$ 得 $3$ (2) 按出 $400$ 再按兩次 $\log$，所得數值的整數部分為 $0$ (3) 按出正整數 $M$ 再按一次 $\log$，所得數值介於 $0$ 到 $1$ 之間（不含），這樣的 $M$ 有 $9$ 個 (4) 按出正整數 $N$ 再按兩次 $\log$，所得數值介於 $0$ 到 $1$ 之間（不含），這樣的 $N$ 有 $10^{10}-11$ 個 (5) 按出正整數 $K$ 再按兩次 $\log$，所得數值介於 $-1$ 到 $0$ 之間（不含），這樣的 $K$ 有 $8$ 個
(1)(2)(4)(5)
做法：$0\lt\log y\lt1\iff1\lt y\lt10$；按兩次就把 $y$ 換成 $\log x$ 再套一次。
(1) 正確。(2) $\log400\approx2.6$，$\log2.6\approx0.41$，整數部分 $0$，正確。(3) $1\lt M\lt10$，$M=2,\dots,9$ 共 $8$ 個，錯。(4) $1\lt\log N\lt10\iff10\lt N\lt10^{10}$，$N=11,\dots,10^{10}-1$，共 $10^{10}-11$ 個，正確。(5) $-1\lt\log(\log K)\lt0\iff0.1\lt\log K\lt1\iff10^{0.1}\lt K\lt10$，$10^{0.1}\approx1.26$，$K=2,\dots,9$ 共 $8$ 個，正確。
L3-16雙重根號先化簡，再取整數、小數部分，最後有理化改編自 新竹實中 113上
設 $\sqrt{17-4\sqrt{13}}$ 的整數部分為 $a$、小數部分為 $b$，求 $\dfrac{1}{a+b+5}-\dfrac1b$ 的值。
$-\dfrac32$
做法：$4\sqrt{13}=2\sqrt{52}$，找和 $17$、積 $52$ 的兩數：$13$ 與 $4$，雙重根號就拆得開。
$\sqrt{17-4\sqrt{13}}=\sqrt{\left(\sqrt{13}\right)^2+2^2-2\cdot2\sqrt{13}}=\sqrt{13}-2$（大的在前，結果才是正的）。因為 $3\lt\sqrt{13}\lt4$，所以 $1\lt\sqrt{13}-2\lt2$：$a=1$，$b=\left(\sqrt{13}-2\right)-1=\sqrt{13}-3$。
$a+b+5=\sqrt{13}+3$，所以 $\dfrac{1}{a+b+5}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{13-9}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{4}$；$\dfrac1b=\dfrac{1}{\sqrt{13}-3}=\dfrac{\sqrt{13}+3}{4}$。
相減：$\dfrac{\left(\sqrt{13}-3\right)-\left(\sqrt{13}+3\right)}{4}=-\dfrac64=-\dfrac32$。
L3-17已知 $a^{\frac12}-a^{-\frac12}$：平方得 $a+a^{-1}$，立方得 $a^{\frac32}-a^{-\frac32}$改編自 景美女高 100上
設 $a\gt0$，且 $a^{\frac12}-a^{-\frac12}=4$，求 $\dfrac{a^{\frac32}-a^{-\frac32}}{a+a^{-1}}$ 的值。
$\dfrac{38}{9}$
做法：令 $x=a^{\frac12}$，則 $a^{-\frac12}=\dfrac1x$，$a+a^{-1}=x^2+\dfrac1{x^2}$，$a^{\frac32}-a^{-\frac32}=x^3-\dfrac1{x^3}$，全部用 $x-\dfrac1x=4$ 表示。
平方：$x^2+\dfrac1{x^2}=\left(x-\dfrac1x\right)^2+2=16+2=18$。
立方：$x^3-\dfrac1{x^3}=\left(x-\dfrac1x\right)^3+3\left(x-\dfrac1x\right)=64+12=76$（也可以用立方差：$\left(x-\dfrac1x\right)\left(x^2+1+\dfrac1{x^2}\right)=4\times19=76$）。
所求 $=\dfrac{76}{18}=\dfrac{38}{9}$。
L3-18由 $a$、$b$ 的範圍求 $a+b$、$a-b$、$ab$：差要先變號，積要比四個端點乘積改編自 板橋高中 110上
設實數 $a,b$ 滿足 $|a-2|\lt1$、$|b-1|\lt2$，求 $a+b$、$a-b$、$ab$ 的範圍。
$0\lt a+b\lt6$；$-2\lt a-b\lt4$；$-3\lt ab\lt9$
做法：先拆成 $1\lt a\lt3$、$-1\lt b\lt3$。和直接相加；差寫成 $a+(-b)$；積不能把兩個不等式直接相乘（$b$ 可能是負的），要比四個端點的乘積。
和：兩式相加，$0\lt a+b\lt6$。
差：$-3\lt-b\lt1$，再加上 $1\lt a\lt3$，得 $-2\lt a-b\lt4$。
積：固定 $a$ 時，$ab$ 隨 $b$ 一直變大或一直變小，所以最大、最小都出現在四個角落。四個端點乘積是 $1\times(-1)=-1$、$1\times3=3$、$3\times(-1)=-3$、$3\times3=9$，而端點取不到，所以 $-3\lt ab\lt9$。
常見錯誤：左邊乘左邊、右邊乘右邊，寫成 $-1\lt ab\lt9$，漏掉 $a$ 接近 $3$、$b$ 接近 $-1$ 時 $ab$ 接近 $-3$。L3 混合檢測 10 題（18 型打亂，可換組）
段考模擬卷（L2＋L3 混合 14 題・計時 50 分鐘・交卷才看答案）
按「開始計時」後作答，答案寫在紙上；時間到或按「交卷」才對答案。用時會記進紀錄，多做幾組可以看自己的速度有沒有進步。
L4頂尖程度：第一志願段考、模考、大考的難題
對象L3 全通，目標段考 95 分以上、學測 15 級分的同學。
目標12 題：每題都要把兩個以上的方法接起來用，或需要一個不常見的觀察。
通過標準限時 90 分鐘做完 12 題，對 9 題以上。
L4-1根號內湊完全平方建國中學 段考
設 $n$ 為正整數，若 $\sqrt{n+2+\dfrac1n}-\sqrt{n-2+\dfrac1n}\lt\dfrac1{10}$，求 $n$ 的最小值。
$401$
$n+2+\dfrac1n=\dfrac{n^2+2n+1}{n}=\dfrac{(n+1)^2}{n}$，$n-2+\dfrac1n=\dfrac{(n-1)^2}{n}$。故左式 $=\dfrac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt n}=\dfrac{2}{\sqrt n}$（$n\ge1$ 時 $n-1\ge0$）。$\dfrac2{\sqrt n}\lt\dfrac1{10}\iff\sqrt n\gt20\iff n\gt400$，最小 $n=401$。
L4-2指數塔比大小段考進階題
將 $1,2,3,5$ 四個數各用一次填入 $A^{B^{C^D}}$ 的 $A,B,C,D$，使其值最大。求此時的四位數 $\overline{ABCD}$。
$2351$，即 $2^{3^{5^{1}}}=2^{243}$
$1$ 放在 $A$ 或 $B$ 整個值變成 $1$ 或 $B$，浪費；放在 $D$ 時 $C^1=C$ 不吃虧，放在 $C$ 時 $1^D=1$ 讓指數塌成 $B$。所以 $D=1$，剩下比較 $A^{B^C}$：$2^{3^5}=2^{243}$、$2^{5^3}=2^{125}$、$3^{2^5}=3^{32}$、$3^{5^2}=3^{25}$、$5^{2^3}=5^8$、$5^{3^2}=5^9$。取 $\log_2$：$243$、$125$、$32\log_23\approx50.7$、$25\log_23\approx39.6$、$8\log_25\approx18.6$、$20.9$。最大為 $2^{243}$，$\overline{ABCD}=2351$。
L4-3配方成距離 ＋ 對稱點台中一中 段考
求 $\sqrt{x^2-8x+25}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-18y+85}$ 的最小值（$x,y$ 為實數）。
$6\sqrt5$
配方：$\sqrt{(x-4)^2+3^2}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(y-9)^2+2^2}$。把它看成坐標平面上折線 $P(4,3)\to X(x,0)\to Y(0,y)\to Q(2,9)$ 的總長（三段分別是 $PX$、$XY$、$YQ$）。$X$ 在 $x$ 軸、$Y$ 在 $y$ 軸上任取，最短路徑用對稱：$P$ 對 $x$ 軸的對稱點 $P'(4,-3)$，$Q$ 對 $y$ 軸的對稱點 $Q'(-2,9)$，最小值 $=\overline{P'Q'}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt5$。
L4-4三種根式化簡 ＋ 整數／小數部分北一女中 段考
設 $k=(\sqrt3-1)^3+\sqrt{38-\sqrt{288}}+\sqrt{(6\sqrt3-11)^2}$，$k$ 的整數部分為 $a$、小數部分為 $b$，求 $a+\dfrac2b$。
$7+\sqrt2$
$(\sqrt3-1)^3=3\sqrt3-9+3\sqrt3-1=6\sqrt3-10$。$\sqrt{38-\sqrt{288}}=\sqrt{38-2\sqrt{72}}=\sqrt{36}-\sqrt2=6-\sqrt2$。$6\sqrt3\approx10.39\lt11$，故 $\sqrt{(6\sqrt3-11)^2}=11-6\sqrt3$。三項相加：$k=7-\sqrt2\approx5.586$，$a=5$、$b=2-\sqrt2$。$a+\dfrac2b=5+\dfrac{2}{2-\sqrt2}=5+\dfrac{2(2+\sqrt2)}{2}=7+\sqrt2$。
L4-5雙重根號多選：每個選項都要真的算台中一中 段考
已知 $\sqrt{14+\sqrt{180}}=a+b\sqrt5$，$a,b$ 為有理數。選出正確的選項：
(1) $a=4$ (2) $b=1$ (3) $\sqrt{14+\sqrt{180}}+\sqrt{14-\sqrt{180}}=6$ (4) $\sqrt{14+\sqrt{180}}$ 的整數部分為 $5$ (5) $\sqrt{14+\sqrt{180}}$ 的小數部分等於 $\sqrt{14-\sqrt{180}}$
(2)(3)(4)
$\sqrt{180}=6\sqrt5$，$14+6\sqrt5=(9+5)+2\sqrt{45}=(3+\sqrt5)^2$，故 $a=3$、$b=1$：(1) 錯、(2) 對。$\sqrt{14-\sqrt{180}}=3-\sqrt5$，兩者相加 $=6$，(3) 對。$3+\sqrt5\approx5.24$，整數部分 $5$，(4) 對。小數部分 $=\sqrt5-2\approx0.24$，而 $3-\sqrt5\approx0.76$，(5) 錯。
L4-6指數模型取 log 解常數建國中學 113 上 計算題
設 $p_0$ 為地表大氣壓力，$p_h$ 為高度 $h$（公尺）處的大氣壓力，且 $p_h=p_0\cdot2.72^{-\frac{9.81h}{a}}$（$a$ 為常數）。已知 $p_0=1013$、$p_{1000}=977$（百帕）。若 $a=-\dfrac{r}{\log s}$，其中 $r$ 以科學記號表示、$s$ 為最簡分數，求 $r$ 與 $s$。（$10^{0.435}=2.72$）
$r=4.26735\times10^3$，$s=\dfrac{977}{1013}$
$h=1000$：$\dfrac{977}{1013}=2.72^{-\frac{9810}{a}}$。兩邊取 $\log$，$\log2.72=0.435$：$\log\dfrac{977}{1013}=-\dfrac{9810}{a}\times0.435=-\dfrac{4267.35}{a}$，故 $a=-\dfrac{4267.35}{\log\frac{977}{1013}}$。$r=4267.35=4.26735\times10^3$，$s=\dfrac{977}{1013}$（$977$ 為質數，已最簡）。
L4-7整數部分 n、小數部分 b 的二次方程：用 0≤b<1 卡 n台中一中 段考
正實數 $a$ 的整數部分為 $n$、小數部分為 $b$（$b\ne0$），且 $6a=b^2+31$。求 $b+2\sqrt b$ 之值。
$1$（此時 $n=5$，$b=3-2\sqrt2$）
$a=n+b$ 代入：$b^2-6b+(31-6n)=0$，$b=3\pm\sqrt{6n-22}$。要 $0\lt b\lt1$，取 $b=3-\sqrt{6n-22}$ 且 $2\lt\sqrt{6n-22}\lt3$，即 $4\lt6n-22\lt9$，$\dfrac{26}{6}\lt n\lt\dfrac{31}{6}$，$n=5$。$b=3-\sqrt8=3-2\sqrt2$，$\sqrt b=\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1$。$b+2\sqrt b=3-2\sqrt2+2\sqrt2-2=1$。
L4-8畢氏定理 ＋ 雙重根號中山女中 段考
直角三角形 $ABC$ 中 $\angle A=90^\circ$，$\overline{AC}^2=11+5\sqrt{11}$，$\overline{AB}^2=9+\sqrt{11}$，求 $\overline{BC}$。
$3+\sqrt{11}$
$\overline{BC}^2=\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=20+6\sqrt{11}=(9+11)+2\sqrt{99}=(3+\sqrt{11})^2$，故 $\overline{BC}=3+\sqrt{11}$。
L4-9大小關係多選：對的要證、錯的要舉反例段考進階題
若 $a\gt1\gt b\gt0\gt c$，選出正確的選項：
(1) $ab\lt a+b-1$ (2) $a+\dfrac1a\gt b+\dfrac1b$ (3) $a+\dfrac1b\gt b+\dfrac1a$ (4) $\dfrac ca\gt\dfrac bc$ (5) $(a-b)^2\gt(b-c)^2$
(1)(3)
(1) $a+b-1-ab=-(a-1)(b-1)$，$a-1\gt0$、$b-1\lt0$，故為正，正確。(2) 反例 $a=1.1$，$b=0.1$：$1.1+0.91\lt0.1+10$，錯。(3) 差 $=(a-b)+\left(\dfrac1b-\dfrac1a\right)$，兩括號都正（$a\gt b\gt0$），正確。(4) $\dfrac ca-\dfrac bc=\dfrac{c^2-ab}{ac}$，分母負、分子正負不定（$c=-1,a=2,b=0.5$ 為正；$c=-0.1$ 為負），錯。(5) 反例 $a=1.1$，$b=0.5$，$c=-5$：$0.36\lt30.25$，錯。
L4-10小數部分的代數運算段考進階題
設 $a,b$ 分別為 $\sqrt3$ 與 $\sqrt{12}$ 的小數部分，選出正確的選項：
(1) $2a=b$ (2) $a^2+b^2$ 為有理數 (3) $a^3-3b$ 為有理數 (4) $\dfrac ab\lt2$ (5) $\sqrt{7+b}=\sqrt3+1$
(3)(4)(5)
$a=\sqrt3-1$，$\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3.46$，$b=2\sqrt3-3$。(1) $2a=2\sqrt3-2\ne b$，錯。(2) $a^2+b^2=(4-2\sqrt3)+(21-12\sqrt3)=25-14\sqrt3$，無理，錯。(3) $a^3=(\sqrt3-1)^3=6\sqrt3-10$，$3b=6\sqrt3-9$，$a^3-3b=-1$，正確。(4) $\dfrac ab=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt3-3}=\dfrac{(\sqrt3-1)(2\sqrt3+3)}{3}=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\approx1.58\lt2$，正確。(5) $7+b=4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2$，正確。
L4-11立方根對稱式：用 (p−q)³ 展開，中間項會塌掉建國中學 段考
設 $x=\sqrt[3]2-\dfrac1{\sqrt[3]2}$，求 $4x^3+12x+5$ 之值。
$11$
令 $p=\sqrt[3]2$，$q=\dfrac1{\sqrt[3]2}$，$pq=1$。$x^3=(p-q)^3=p^3-q^3-3pq(p-q)=2-\dfrac12-3x=\dfrac32-3x$。故 $4x^3=6-12x$，$4x^3+12x+5=11$。
L4-12已知一根含 √ ＋ 有理係數：代入後比較係數段考進階題
設 $a$ 為有理數，方程式 $2x^2+\sqrt{11+3\sqrt8}\,x+(a-8\sqrt2)=0$ 有一根為 $1+\sqrt2$，求 $a$。
$a=-11$
$\sqrt{11+3\sqrt8}=\sqrt{11+6\sqrt2}=\sqrt{(9+2)+2\sqrt{18}}=3+\sqrt2$。代入 $x=1+\sqrt2$：$2(3+2\sqrt2)+(3+\sqrt2)(1+\sqrt2)+a-8\sqrt2=(6+4\sqrt2)+(5+4\sqrt2)+a-8\sqrt2=(11+a)+0\cdot\sqrt2=0$，故 $a=-11$。
L5補充專區：競賽味與證明題
對象學有餘力、想參加數學競賽或未來想走數理科系的同學。
目標6 題經典 ＋ 15 題科學班／教甄：看懂「為什麼」，學會把猜想寫成證明、把假命題用反例推翻，也看看出題老師怎麼想。
說明本區不列入段考通過標準。前 6 題是經典題；後面的「科學班・教甄專區」15 題來自北一女、嘉中科學班與各校教甄，原卷為掃描影像，以 OCR 讀出後逐題重打、重解、驗算。
L5-1拉馬努金巢狀立方根競賽經典
已知 $\sqrt[3]{\sqrt[3]2-1}=\sqrt[3]a-\sqrt[3]b+\sqrt[3]c$，其中 $a\gt b\gt c$ 為正有理數，求 $a+b-c$。
$\dfrac59$（$a=\dfrac49$，$b=\dfrac29$，$c=\dfrac19$）
令 $t=\sqrt[3]2$，$t^3=2$。猜右式為 $\dfrac{t^2-t+1}{\sqrt[3]9}$，驗證：$(t^2-t+1)^3$ 用 $t^2-t+1=\dfrac{t^3+1}{t+1}=\dfrac{3}{t+1}$ 改寫，得 $(t^2-t+1)^3=\dfrac{27}{(t+1)^3}$；而 $(t+1)^3=t^3+3t^2+3t+1=3(t^2+t+1)$，且 $(t-1)(t^2+t+1)=t^3-1=1$，故 $(t+1)^3=\dfrac{3}{t-1}$，$(t^2-t+1)^3=9(t-1)$。所以 $\sqrt[3]{t-1}=\dfrac{t^2-t+1}{\sqrt[3]9}=\sqrt[3]{\dfrac49}-\sqrt[3]{\dfrac29}+\sqrt[3]{\dfrac19}$，$a+b-c=\dfrac{4+2-1}{9}=\dfrac59$。
L5-2共軛數列必為整數 ＋ 求整數部分競賽入門
設 $a_n=(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n$。(1) 證明對所有正整數 $n$，$a_n$ 為整數。(2) 求 $(2+\sqrt3)^5$ 的整數部分。
(2) $723$
(1) 令 $\alpha=2+\sqrt3$，$\beta=2-\sqrt3$，則 $\alpha+\beta=4$，$\alpha\beta=1$。由 $\alpha^{n+2}=4\alpha^{n+1}-\alpha^{n}$（因 $\alpha^2=4\alpha-1$），$\beta$ 同理，相加得 $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$。$a_1=4$、$a_2=14$ 為整數，依遞迴（數學歸納）所有 $a_n$ 為整數。
(2) $a_3=52$、$a_4=194$、$a_5=724$。因 $0\lt\beta\lt1$，$0\lt\beta^5\lt1$，故 $\alpha^5=724-\beta^5$ 介於 $723$ 與 $724$ 之間，整數部分 $723$。
L5-3由等式推「全相等」：每個選項都是一種論證106 中區模考
下列各式中的 $a,b,c$ 皆為實數，且每一項運算結果皆為實數。哪些選項的式子可以推得 $a,b,c$ 全部相等？
(1) $a+b=2\sqrt{ab}$ (2) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$ (3) $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0$ (4) $\sqrt{a-1}+\sqrt{b^2-1}+\sqrt{c^3-1}\le0$ (5) $a^3-3a^2+a-3=0$，$b^3-3b^2+b-3=0$，$c^3-3c^2+c-3=0$
(2)(3)(5)
(1) 只得 $(\sqrt a-\sqrt b)^2=0$，$a=b$，$c$ 無限制，錯。(2) 乘 2：$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$，三者全等，正確。(3) 乘 2：$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=0$，得 $a=-b=c=-a$，故 $a=b=c=0$，正確。(4) 三個根號皆 $\ge0$，故都為 $0$：$a=1$、$b=\pm1$、$c=1$，$b$ 可能是 $-1$，錯。(5) $t^3-3t^2+t-3=(t-3)(t^2+1)$，實數解只有 $t=3$，故 $a=b=c=3$，正確。
L5-4證明或否定：先找反例再說段考證明題
命題：「若 $a,b$ 都是奇數，則 $a^3+b^3$ 不能被 $4$ 整除。」試證明此命題，或舉反例否定它。
命題為假；反例 $a=1$，$b=3$：$1+27=28=4\times7$。
分析：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。$a,b$ 奇數時 $a^2-ab+b^2$ 為奇（奇−奇＋奇），而 $a+b$ 為偶。若 $a+b$ 是 $4$ 的倍數（例如 $1+3$、$3+5$），乘積就被 $4$ 整除；若 $a+b\equiv2\pmod4$（例如 $1+1$、$1+5$），乘積除以 $4$ 餘 $2$。所以命題不恆成立，任一組 $a+b\equiv0\pmod4$ 的奇數對都是反例。正確的敘述應是：「$a^3+b^3$ 被 $4$ 整除 $\iff a+b$ 被 $4$ 整除」。
L5-5無理數證明：反證法 ＋ 平方去根號證明題經典
已知 $\sqrt6$ 為無理數，證明 $\sqrt2+\sqrt3$ 為無理數。
（證明題）
假設 $\sqrt2+\sqrt3=r$ 為有理數。兩邊平方：$5+2\sqrt6=r^2$，故 $\sqrt6=\dfrac{r^2-5}{2}$。右邊是有理數的四則運算，仍為有理數，與 $\sqrt6$ 為無理數矛盾。故 $\sqrt2+\sqrt3$ 為無理數。
（補充：$\sqrt6$ 無理的證明：設 $\sqrt6=\dfrac pq$ 最簡，則 $p^2=6q^2$，$p$ 為偶，設 $p=2m$，$2m^2=3q^2$，$q$ 亦為偶，與最簡矛盾。）
L5-6條件極值：湊出「和為定值」再用算幾建國中學 段考
設 $x,y\gt0$ 且 $x^2+\dfrac{y^2}{2}=1$，求 $x\sqrt{1+y^2}$ 的最大值。
$\dfrac{3\sqrt2}{4}$（$x=\dfrac{\sqrt3}{2}$，$y=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 時）
$y^2=2-2x^2$，目標 $=x\sqrt{3-2x^2}=\dfrac1{\sqrt2}\sqrt{2x^2\,(3-2x^2)}$。兩因式 $2x^2$ 與 $3-2x^2$ 之和為定值 $3$，算幾：$2x^2(3-2x^2)\le\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94$，故目標 $\le\dfrac1{\sqrt2}\cdot\dfrac32=\dfrac{3\sqrt2}{4}$。等號在 $2x^2=\dfrac32$，$x=\dfrac{\sqrt3}2$，此時 $y^2=\dfrac12$，$y=\dfrac{\sqrt2}{2}\gt0$ 合。
科學班・教甄專區（15 題）
來源：北一女中 113 科學班、嘉義高中 114／115 科學班、112 全國教甄聯招、台中一中 111 教甄、桃園／新竹／台北各校教甄。原卷多為掃描影像，
以 Windows 內建 OCR 讀出後逐題重打；答案全部重新解過並經電腦驗算，與原卷答案一致。教甄題偏「教學眼光」：不只求答案，還要能講出為什麼。
S1含 √ 的高次式求值：先造出 x 的二次關係，再降次北一女中 113 科學班 單選 1
已知 $x=45+\sqrt{2024}$，則 $x^3-8099x+89=$？
(A) $-2$ (B) $-1$ (C) $0$ (D) $1$ (E) $2$
(B) $-1$
做法：$(x-45)^2=2024$ 展開得 $x^2=90x-1$，之後所有高次都用它降一次。
$x^3=x\cdot x^2=x(90x-1)=90x^2-x=90(90x-1)-x=8099x-90$。
故 $x^3-8099x+89=(8099x-90)-8099x+89=-1$。
為什麼是 $8099$：出題者就是從 $90\cdot90-1$ 反推來的；看到「怪係數」先懷疑它是 $x^2$ 關係式的產物。S2距離：絕對值不等式；根號要夾在兩個平方數之間估嘉義高中 115 科學班 填 3
試問數線上有多少個整數點與點 $\sqrt{115}$ 的距離小於 $5$，但與點 $\sqrt{2026}$ 的距離大於 $35$？
$5$ 個（$6,7,8,9,10$）
做法：$10^2\lt115\lt11^2$ 且 $10.7^2=114.49\lt115\lt116.64=10.8^2$ ⟹ $\sqrt{115}\approx10.7$；$45^2=2025$ ⟹ $\sqrt{2026}$ 比 $45$ 大一點點。
第一個條件：$\sqrt{115}-5\lt x\lt\sqrt{115}+5$，即 $5.7\lt x\lt15.7$，整數 $x=6,7,\dots,15$。
第二個條件：$|x-\sqrt{2026}|\gt35$ ⟹ $x\lt\sqrt{2026}-35$ 或 $x\gt\sqrt{2026}+35$。因 $\sqrt{2026}\gt45$，$\sqrt{2026}-35\gt10$，所以 $x\le10$ 都合（$x=10$：$\sqrt{2026}-10\gt35$ ✔）；$x=11$：$\sqrt{2026}-11\lt46-11=35$ ✘。
交集：$x=6,7,8,9,10$，共 $5$ 個。
關鍵是 $x=10$ 那一格，要用「$\sqrt{2026}\gt45$」而不是「$\approx45$」來判斷。S3根號裡外長得一樣：令 t＝根號，化成 t 的二次方程嘉義高中 115 科學班 填 5
解方程式 $\dfrac23x^2+x-\dfrac53\sqrt{2x^2+3x+9}=-1$。
$x=3$ 或 $x=-\dfrac92$
做法：全式乘 $3$：$2x^2+3x+3-5\sqrt{2x^2+3x+9}=0$，根號裡是 $2x^2+3x+9$，外面是它減 $6$。
令 $t=\sqrt{2x^2+3x+9}\ge0$，則 $2x^2+3x+3=t^2-6$，方程式變成 $t^2-5t-6=0$，$(t-6)(t+1)=0$，取 $t=6$。
$2x^2+3x+9=36$ ⟹ $2x^2+3x-27=0$ ⟹ $(2x+9)(x-3)=0$ ⟹ $x=3$ 或 $-\dfrac92$。
兩根代回：根號內都是 $36$，$t=6\ge0$ 合。
S4同底化指數律：指數的線性方程整數解計數嘉義高中 115 科學班 填 6
試問共有多少組非負整數對 $(a,b,c)$ 滿足 $2^a4^b8^c=1024$？
$14$ 組
做法：$4^b=2^{2b}$、$8^c=2^{3c}$、$1024=2^{10}$ ⟹ $a+2b+3c=10$。
按 $c$ 分類：$c=0$：$a+2b=10$，$b=0\sim5$，$6$ 組；$c=1$：$a+2b=7$，$b=0\sim3$，$4$ 組；$c=2$：$a+2b=4$，$3$ 組；$c=3$：$a+2b=1$，$1$ 組。共 $6+4+3+1=14$ 組。
S5看到 √A+√B 的值、求 √A−√B：用平方差，不要硬解 a、b嘉義高中 114 科學班 填 13
已知 $a,b$ 為實數且 $a-b=4$，若 $\sqrt{16+a}+\sqrt b=5$，試求 $\sqrt{16+a}-\sqrt b$ 之值。
$4$
做法：$(\sqrt{16+a}+\sqrt b)(\sqrt{16+a}-\sqrt b)=(16+a)-b=16+4=20$。
故 $\sqrt{16+a}-\sqrt b=\dfrac{20}{5}=4$。
順便確認題目有解：兩式相加 $2\sqrt{16+a}=9$，$a=\dfrac{17}{4}$，$b=\dfrac14$，$a-b=4$ ✔。S6絕對值不等式：平方去絕對值，因式分解，三式相乘出矛盾嘉義高中 114 科學班 證明 2
試證明任意三個實數 $x,y,z$ 不可能同時滿足下列三個不等式：$$|x|\lt|y-z|,\qquad|y|\lt|z-x|,\qquad|z|\lt|x-y|.$$
（證明題）
做法：$|p|\lt|q|\iff p^2\lt q^2\iff(p-q)(p+q)\lt0$。
假設三式同時成立。平方並移項：
$x^2-(y-z)^2\lt0$ ⟹ $(x-y+z)(x+y-z)\lt0$；
$y^2-(z-x)^2\lt0$ ⟹ $(y-z+x)(y+z-x)\lt0$；
$z^2-(x-y)^2\lt0$ ⟹ $(z-x+y)(z+x-y)\lt0$。
令 $p=x-y+z$、$q=x+y-z$、$r=-x+y+z$，三式就是 $pq\lt0$、$qr\lt0$、$rp\lt0$。三式相乘：$(pqr)^2\lt0$，但平方不可能為負，矛盾。故三個不等式不可能同時成立。
S724、27、16、18 都是 2 與 3 的積：設 $s=2^x$、$t=3^x$，化成二元齊次式分解112 全國教甄聯招 填 4
若實數 $x$ 滿足 $6\times24^x-2\times27^x+3\times16^x-18^x=0$，求 $\dfrac{2x-1}{3x}$ 之值。
$\dfrac{2x-1}{3x}=\dfrac{\log2}{\log3}$
做法：$24^x=8^x\cdot3^x=s^3t$、$27^x=t^3$、$16^x=s^4$、$18^x=2^x\cdot9^x=st^2$。
方程式變成 $6s^3t-2t^3+3s^4-st^2=0$。分組：$3s^3(2t+s)-t^2(2t+s)=(3s^3-t^2)(2t+s)=0$。
$s,t\gt0$ ⟹ $2t+s\ne0$，故 $t^2=3s^3$，即 $3^{2x}=3\cdot2^{3x}$。兩邊取 $\log$：$2x\log3=\log3+3x\log2$ ⟹ $(2x-1)\log3=3x\log2$ ⟹ $\dfrac{2x-1}{3x}=\dfrac{\log2}{\log3}$。
（用高二的記法就是 $\log_32$。）S8a 無理、多項式值有理：用低次式消高次，逼出「有理係數×無理數＝有理數 ⟹ 係數為 0」112 全國教甄聯招 填 8
已知 $a\gt0$ 是無理數，若 $P=a^3+3a^2-16a+6$、$Q=a^2-2a$，且 $P$、$Q$ 皆為有理數，求 $a$。
$a=1+\sqrt7$
做法：由 $Q$ 得 $a^2=Q+2a$，把 $P$ 裡的 $a^3$、$a^2$ 全換掉，剩下「$a$ 的一次式」。
$a^3=a\cdot a^2=a(Q+2a)=aQ+2a^2=aQ+2Q+4a$。
$P=(aQ+2Q+4a)+3(Q+2a)-16a+6=a(Q-6)+5Q+6$。
$P$、$Q$ 有理而 $a$ 無理：若 $Q-6\ne0$，則 $a=\dfrac{P-5Q-6}{Q-6}$ 為有理數，矛盾。故 $Q=6$，即 $a^2-2a-6=0$，$a=1\pm\sqrt7$，取正：$a=1+\sqrt7$。
類似題（竹山高中 101 教甄 填 1）：$a$ 為正無理數，$p=a^3-a^2-13a+6$、$q=a^2-4a$ 均為有理數，求 $(p,q,a)$。答：$(9,\,1,\,2+\sqrt5)$（同法：$p=a(q-1)+3q+6$，故 $q=1$、$p=9$。）
S9整數部分×小數部分：設 x=n+r，逐個 n 討論 r 的下界台中一中 111 教甄 填 1
當 $x\gt0$ 時，令 $[x]$ 表示 $x$ 的整數部分，$\{x\}$ 表示 $x$ 的小數部分（例：$[20.22]=20$，$\{20.22\}=0.22$）。求最小的正數 $x$ 使得 $[x]\cdot\{x\}\ge3$。
$x=\dfrac{19}{4}$
做法：$x=n+r$（$n$ 正整數，$0\le r\lt1$），條件是 $nr\ge3$，即 $r\ge\dfrac3n$，但 $r\lt1$ ⟹ $n\ge4$。
$n=4$：$r\ge\dfrac34$，最小 $x=4+\dfrac34=\dfrac{19}{4}$。$n\ge5$：$x\ge5\gt\dfrac{19}4$。故最小 $x=\dfrac{19}{4}$。
$n=1,2,3$ 時 $r\ge3,\dfrac32,1$ 都不可能，所以「從 $n=4$ 起算」是這題的門檻。S10x²＋{x}²＝整數：先用 0≤{x}<1 把 x 夾出整數部分新竹建功高中 107 教甄 填 5
已知 $x$ 為正實數，$y$ 為 $x$ 的小數部分，且 $x^2+y^2=2018$，求 $x$。
$x=22+5\sqrt{21}$
做法：$0\le y\lt1$ ⟹ $2017\lt x^2\le2018$；$44^2=1936$、$45^2=2025$ ⟹ $44\lt x\lt45$，整數部分 $44$。
$y=x-44$，代入：$x^2+(x-44)^2=2018$ ⟹ $2x^2-88x+1936-2018=0$ ⟹ $x^2-44x-41=0$ ⟹ $x=\dfrac{44\pm\sqrt{1936+164}}{2}=22\pm\dfrac{\sqrt{2100}}{2}=22\pm5\sqrt{21}$。
取正根 $x=22+5\sqrt{21}\approx44.9$，在 $(44,45)$ 內 ✔。
S11單位分數和夾在區間：從最大的分數開始貪心，逐層縮範圍新竹建功高中 107 教甄 填 2
已知 $a,b,c$ 為正整數，且 $\dfrac{19}{20}\lt\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\lt1$，則 $a+b+c$ 所有可能值中的最小值為何？
$12$（$a,b,c=2,3,7$）
做法：不妨設 $a\le b\le c$。和要接近 $1$ 又小於 $1$，$a$ 只能從 $2$ 起（$a=1$ 就超過 $1$）。
$a=2$：需 $\dfrac9{20}\lt\dfrac1b+\dfrac1c\lt\dfrac12$。$b=3$：$\dfrac{7}{60}\lt\dfrac1c\lt\dfrac16$ ⟹ $6\lt c\lt\dfrac{60}{7}\approx8.6$，$c=7$ 或 $8$；$b=4$：$\dfrac15\lt\dfrac1c\lt\dfrac14$，沒有整數；$b\ge5$ 時 $\dfrac1b+\dfrac1c\le\dfrac25\lt\dfrac9{20}$，不合。
$a=3$：需 $\dfrac{37}{60}\lt\dfrac1b+\dfrac1c\lt\dfrac23$。$b\ge3$ 時 $\dfrac1b+\dfrac1c\le\dfrac23$，等號只在 $b=c=3$（此時和恰為 $1$，不合）；其餘最大是 $b=3,c=4$：$\dfrac7{12}\approx0.583\lt\dfrac{37}{60}\approx0.617$，不合，再大更小。故 $a\ge3$ 無解。
所以只有 $(2,3,7)$：$\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}$ ✔ 與 $(2,3,8)$：$\dfrac{23}{24}$ ✔，最小和 $2+3+7=12$。
S12分子分母長得很像：分子＝分母＋（小東西），先拆成 1＋餘項再估台北木柵高工 106 教甄 填 1
已知有理數 $k=\dfrac{11\times26+12\times27+13\times28+14\times29+15\times30}{11\times25+12\times26+13\times27+14\times28+15\times29}$，求 $100k$ 的整數部分。
$103$
做法：分子每一項都是「分母對應項 $+$ 該項的第一個因數」：$11\times26=11\times25+11$，……
分子 $=$ 分母 $+(11+12+13+14+15)=$ 分母 $+65$，故 $k=1+\dfrac{65}{D}$，$D=275+312+351+392+435=1765$。
$\dfrac{65}{1765}=\dfrac{13}{353}\approx0.0368$，$100k\approx103.68$，整數部分 $103$。
只需確認 $\dfrac{13}{353}$ 在 $0.03$ 與 $0.04$ 之間：$353\times0.03=10.59\lt13\lt14.12=353\times0.04$ ✔。S13兩根號相加：配一個「相減」用平方差，解出單一根號台北木柵高工 106 教甄 填 11
試求所有實數 $x$，使得 $x=\sqrt{x-\dfrac1x}+\sqrt{1-\dfrac1x}$。
$x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$
做法：令 $A=\sqrt{x-\frac1x}$、$B=\sqrt{1-\frac1x}$，則 $A+B=x$ 且 $A^2-B^2=x-1$。
先看範圍：$1-\dfrac1x\ge0$ 且 $x\gt0$ ⟹ $x\ge1$。
$A-B=\dfrac{A^2-B^2}{A+B}=\dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac1x$。與 $A+B=x$ 相加：$2A=x+1-\dfrac1x=A^2+1$（因 $A^2=x-\dfrac1x$）。
故 $A^2-2A+1=0$，$A=1$，即 $x-\dfrac1x=1$，$x^2-x-1=0$，$x=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$，由 $x\ge1$ 取 $x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$。
驗算：$B=x-A=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\ge0$，且 $B^2=\dfrac{3-\sqrt5}{2}=1-\dfrac1x$ ✔。
S14偵錯題：無理數＋無理數不一定是無理數；正確證法用反證＋奇偶台北大安高工 101 教甄 偵錯題 2
題目：證明 $\log2+\log3+\log5$ 是無理數。
某學生的解答：「因為 $\log2$、$\log3$、$\log5$ 皆是無理數，所以 $\log2+\log3+\log5$ 是無理數。」
請指出這個解答錯誤的關鍵，並寫出正確的證明。
錯在「無理數的和必為無理數」；正確證明見詳解（$\log30$ 為無理數）。
錯誤關鍵：無理數對加法不封閉。反例就在題目旁邊：$\log2+\log5=\log10=1$ 是有理數。結論碰巧對，推理卻不成立。
正確證明：$\log2+\log3+\log5=\log30$。假設 $\log30=\dfrac pq$（$p,q$ 為正整數），則 $30^q=10^p$。
左邊 $=3^q\cdot10^q$，故 $3^q=10^{\,p-q}$。若 $p\gt q$，右邊是 $10$ 的正整數次方（偶數），左邊是奇數，矛盾；若 $p=q$，得 $3^q=1$，矛盾；若 $p\lt q$，右邊小於 $1$ 而左邊 $\ge3$，矛盾。故 $\log30$ 為無理數。
教學上的提醒：要證「和是無理數」，通常先把和算成單一個對數，再對那個數做反證。S15立方根分母有理化：設未知係數，用 t³＝2 比較係數解線性方程組北科附工 109 教甄 計算 2
若 $a$ 是有理數，且 $\dfrac{1}{\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+a}=\alpha\sqrt[3]4+\beta\sqrt[3]2+\gamma$，其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 為有理數。試求 $\alpha,\beta,\gamma$（用 $a$ 表示）。
$\alpha=\dfrac{1-a}{a^3-6a+6}$，$\beta=\dfrac{2-a}{a^3-6a+6}$，$\gamma=\dfrac{a^2-2}{a^3-6a+6}$
做法：令 $t=\sqrt[3]2$（$t^3=2$，$t^4=2t$），要求 $(t^2+t+a)(\alpha t^2+\beta t+\gamma)=1$，把乘積整理成 $t^2$、$t$、常數三項再比較。
展開：$(t^2+t+a)(\alpha t^2+\beta t+\gamma)=\alpha t^4+(\alpha+\beta)t^3+(\gamma+\beta+a\alpha)t^2+(\gamma+a\beta)t+a\gamma$。
代 $t^4=2t$、$t^3=2$：$=(a\alpha+\beta+\gamma)\,t^2+(2\alpha+a\beta+\gamma)\,t+(2\alpha+2\beta+a\gamma)$。
因 $1,\ t,\ t^2$ 在有理數上「互相獨立」（$t$ 不滿足任何有理係數的一次或二次方程），係數必須逐項相等：
$$a\alpha+\beta+\gamma=0,\qquad2\alpha+a\beta+\gamma=0,\qquad2\alpha+2\beta+a\gamma=1.$$
前兩式相減：$(a-2)\alpha+(1-a)\beta=0$，前式減第三式消 $\gamma$ 後與它聯立，解得（分母同為 $a^3-6a+6$）
$$\alpha=\frac{1-a}{a^3-6a+6},\quad\beta=\frac{2-a}{a^3-6a+6},\quad\gamma=\frac{a^2-2}{a^3-6a+6}.$$
驗算 $a=0$：$\dfrac1{t^2+t}=\dfrac{1}{t(t+1)}$，公式給 $\dfrac{t^2}{6}+\dfrac{2t}{6}-\dfrac26=\dfrac{t^2+2t-2}{6}$；乘 $t(t+1)=t^2+t$：$\dfrac{t^4+3t^3-2t}{6}=\dfrac{2t+6-2t}{6}=1$ ✔。
$a^3-6a+6=0$ 沒有有理數解：若 $a=\dfrac pq$（最簡，$q>0$），乘 $q^3$ 得 $p^3=q\,(6pq-6q^2)$，$q$ 整除 $p^3$，只能 $q=1$，$a$ 是整數；但 $a$ 是奇數時 $a^3-6a+6$ 是奇數，$a$ 是偶數時它除以 $4$ 餘 $2$，都不是 $0$。所以分母對任何有理數 $a$ 都不為 $0$。